沈阳中考中的几何动点也是全国的典范，细致分析，东北三省对于这个考点情有独钟，所以大家可以结合起来一起看，姜老师前面的图文讲解过几何动点存在性问题，大家可以翻阅学习。
1．（2020·沈阳）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（6，0），动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜4），过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N．
（1）填空：AO的长为 4√2 ，AB的长为 2√5 ；
（2）当t＝1时，求点N的坐标；
（3）请直接写出MN的长为 (12-3t)/2（用含t的代数式表示）；
（4）点E是线段MN上一动点（点E不与点M，N重合），△AOE和△ABE的面积分别表示为S1和S2，当t＝4/3时，请直接写出S1·S2（即S1与S2的积）的最大值为 16 ．
【分析】
（1）利用两点间距离公式求解即可．
（2）求出直线AB的解析式，利用待定系数法即可解决问题．
（3）求出PN，PM即可解决问题．
（4）如图，当t＝4/3时，MN＝(12-3×4/3)/2=4，设EM＝m，则EN＝4﹣m．构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】
解：（1）∵A（4，4），B（6，0），
∴OA＝√4²+√4²=4√2，AB＝√(6-4)²+√4²=2√5
故答案为4√2，2√5．
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（4，4），B（6，0）代入得到，4k+b=4,6k+b=0
解得k=-2,b=12
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+12，
由题意点N的纵坐标为1，
令y＝1，则1＝﹣2x+12，
∴x＝11/2，
∴N（11/2，1）．
（3）当0＜t＜4时，令y＝t，代入y＝﹣2x+12，得到x＝(12-t)/2，
∴N（(12-t)/2，t），
∵∠AOB＝∠AOP＝45°，∠OPM＝90°，
∴OP＝PM＝t，
∴MN＝PN﹣PM＝(12-t)/2﹣t＝(12-3t)/2．
故答案为(12-3t)/2．．
（4）．如图，当t＝4/3时，MN＝(12-3×4/3)/2＝4，设EM＝m，则EN＝4﹣m．
由题意S1·S2＝1/2·m×4×1/2（4﹣m）×4＝﹣4m²+16m＝﹣4（m﹣2）²+16，
∵﹣4＜0，
∴m＝2时，S1·S2有最大值，最大值为16．
故答案为16．
【点评】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．
2．（2019·沈阳）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．
（1）k的值是 ﹣1/2 ；
（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．
①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求▱OCED的周长；
②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为33/4，请直接写出点C的坐标．
【分析】
（1）根据点A的坐标，利用待定系数法可求出k值；
（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标，由平行四边形的性质结合点E为OB的中点可得出CE是△ABO的中位线，结合点A的坐标可得出CE的长，在Rt△DOE中，利用勾股定理可求出DE的长，再利用平行四边形的周长公式即可求出▱OCED的周长；
②设点C的坐标为（x，﹣1/2x+4），则CE＝|x|，CD＝|﹣1/2x+4|，利用三角形的面积公式结合△CDE的面积为33/4可得出关于x的方程，解之即可得出结论．
【解答】
解：（1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，
解得：k＝﹣1/2．
故答案为：﹣1/2．
（2）①由（1）可知直线AB的解析式为y＝﹣1/2x+4．
当x＝0时，y＝﹣1/2x+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4），
∴OB＝4．
∵点E为OB的中点，
∴BE＝OE＝1/2OB＝2．
∵点A的坐标为（8，0），
∴OA＝8．
∵四边形OCED是平行四边形，
∴CE∥DA，
∴BC/AC=BE/OE=1
∴BC＝AC，
∴CE是△ABO的中位线，
∴CE＝1/2OA＝4．
∵四边形OCED是平行四边形，
∴OD＝CE＝4，OC＝DE．
在Rt△DOE中，∠DOE＝90°，OD＝4，OE＝2，
∴DE＝√OD²+√OE²=2√5
∴C平行四边形OCED＝2（OD+DE）＝2（4+2√5）＝8+4√5．
②设点C的坐标为（x，﹣1/2x+4），则CE＝|x|，CD＝|﹣1/2x+4|，
∴S△CDE＝1/2CD·CE＝|﹣1/4x²+2x|＝33/4，
∴x²﹣8x+33＝0或x²﹣8x﹣33＝0．
方程x²﹣8x+33＝0无解；
解方程x²﹣8x﹣33＝0，得：x1＝﹣3，x2＝11，
∴点C的坐标为（﹣3，11/2）或（11，﹣3/2）．
【点评】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、勾股定理、平行四边形的周长、三角形的面积、解一元二次方程以及三角形的中位线，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出k值；（2）①利用勾股定理及三角形中位线的性质，求出CE，DE的长；②利用三角形的面积公式结合△CDE的面积为33/4，找出关于x的方程．
3．（2018·沈阳）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0，10）．点E的坐标为（20，0），直线l1经过点F和点E，直线l1与直线l2：y＝3/4x相交于点P．
（1）求直线l1的表达式和点P的坐标；
（2）矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF上，边AD平行于x 轴，且AB＝6，AD＝9，将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD始终与x轴平行．已知矩形ABCD以每秒√5个单位的速度匀速移动（点A移动到点E时停止移动），设移动时间为t秒（t＞0）．
①矩形ABCD在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l1或l2上，请直接写出此时t的值；
②若矩形ABCD在移动的过程中，直线CD交直线l1于点N，交直线l2于点M．当△PMN的面积等于18时，请直接写出此时t的值．
【分析】
（1）利用待定系数法求解析式，函数关系式联立方程求交点；
（2）①分析矩形运动规律，找到点D和点B分别在直线l2上或在直线l1上时的情况，利用AD、AB分别可以看成图象横坐标、纵坐标之差构造方程求点A坐标，进而求出AF距离；
②设点A坐标，表示△PMN即可．
【解答】
解：（1）设直线l1的表达式为y＝kx+b．
∵直线l1过点F（0，10），E（20，0），
∴b=10，20k+b=0
解得k=-1/2,b=10
∴直线l1的表达式为y＝﹣1/2x+10．
求直线l1与直线l2 交点，得
3/4x＝﹣1/2x+10，
解得x＝8，
y＝3/4×8＝6，
∴点P坐标为（8，6）；
（2）①显然，C点不能落在直线l2上．
∵直线AC的斜率＞直线EF的斜率，
∴点C不能落在直线l1上．
∴矩形ABCD在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l1或l2上，分两种情况：
如图，当点D在直线上l2时，点B不在l2上．
∵AD＝9，
∴点D与点A的横坐标之差为9，
∴将直线l1与直线l2 的解析式变为
x＝20﹣2y，x＝4/3y，
∴4/3y﹣（20﹣2y）＝9，
解得y＝87/10，
则点A的坐标为：（13/5，87/10），
则AF＝√(13/5)²+√(10-87/10)²=13√5/10
∵点A速度为每秒√5个单位，
∴t＝13/10；
如图，当点B在l2 直线上时，点D不在l2上．
∵AB＝6，
∴点A的纵坐标比点B的纵坐标高6个单位，
∴直线l1的解析式减去直线l2的解析式得
﹣1/2x+10﹣3/4x＝6，
解得x＝16/5，
则点A坐标为（16/5，42/5），
则AF＝√(16/5)²+√(10-42/5)²=8√5/5
∵点A速度为每秒√5个单位，
∴t＝8/5，
故t值为13/10或8/5；
②如图，
设直线AB交l2于点H．
设点A横坐标为a，则点D横坐标为a+9，
由①中方法可知：MN＝，5/4a+5/4
此时点P到MN距离为：
a+9﹣8＝a+1．
∵△PMN的面积等于18，
∴1/2×(5/4a+5/4)×（a+1）=18
解得a1＝（12√5）/5-1 a2＝﹣（12√5）/5-1（舍去），
∴AF＝6﹣√5-2，
则此时t为6√5/5-1/2
当t＝6√5/5-1/2时，△PMN的面积等于18．
【点评】
本题是代数几何综合题，应用待定系数法和根据函数关系式来表示点坐标，涉及到了分类讨论思想和数形结合思想．
4．（2017·沈阳）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8），点C的坐标为（﹣2√5，4），点M，N分别为四边形OABC边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿O→A→B路线向终点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒两个单位长度的速度沿O→C→B→A路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设动点运动的时间t秒（t＞0），△OMN的面积为S．
（1）填空：AB的长是 10 ，BC的长是 6 ；
（2）当t＝3时，求S的值；
（3）当3＜t＜6时，设点N的纵坐标为y，求y与t的函数关系式；
（4）若S＝48/5，请直接写出此时t的值．
【分析】
（1）利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图1中，作CE⊥x轴于E．连接CM．当t＝3时，点N与C重合，OM＝3，易求△OMN的面积；
（3）如图2中，当3＜t＜6时，点N在线段BC上，BN＝12﹣2t，作NG⊥OB于G，CF⊥OB于F．则F（0，4）．由GN∥CF，推出BN/BC=BG/BF，即（12-2t）/6=BG/4，可得BG＝8﹣t，由此即可解决问题；
（4）分三种情形①当点N在边长上，点M在OA上时．②如图3中，当M、N在线段AB上，相遇之前．作OE⊥AB于E，则OE＝OB·OA/AB=24/5，列出方程即可解决问题．③同法当M、N在线段AB上，相遇之后，列出方程即可；
【解答】
解：（1）在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，
∴AB＝√OA²+√OB²=√6²+√8²=10
BC＝√(2√5)²+√4²=6
故答案为10，6．
（2）如图1中，作CE⊥x轴于E．连接CM．
∵C（﹣2√5，4），
∴CE＝4OE＝2√5，
在Rt△COE中，OC＝√OE²+√CE²=√(2√5)²+√4²=6
当t＝3时，点N与C重合，OM＝3，
∴S△ONM＝1/2·OM·CE＝1/2×3×4＝6，
即S＝6．
（3）如图2中，当3＜t＜6时，点N在线段BC上，BN＝12﹣2t，作NG⊥OB于G，CF⊥OB于F．则F（0，4）．
∵OF＝4，OB＝8，
∴BF＝8﹣4＝4，
∵GN∥CF，
∴BN/BC=BG/BF，即（12-2t）/6=BG/4
∴BG＝8﹣4/3t，
∴y＝OB﹣BG＝8﹣（8﹣4/3t）＝4/3t．
（4）①当点N在边长上，点M在OA上时，1/2·4/3t·t＝48/5，
解得t＝6√10 /5（负根已经舍弃）．
②如图3中，当M、N在线段AB上，相遇之前．
作OE⊥AB于E，则OE＝OB·OA/AB=24/5
由题意1/2[10﹣（2t﹣12）﹣（t﹣6）]·24/5＝48/5，
解得t＝8，
同法当M、N在线段AB上，相遇之后．
由题意1/2·[（2t﹣12）+（t﹣6）﹣10]·24/5＝48/5，
解得t＝32/3，
综上所述，若S＝48/5，此时t的值8s或32/3s或6√10 /5s．
【点评】
本题考查四边形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
5．（2016·沈阳）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O为坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），点C为边AB的中点，正方形OBDE的顶点E在x轴的正半轴上，连接CO，CD，CE．
（1）线段OC的长为 √17/2 ；
（2）求证：△CBD≌△COE；
（3）将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O1B1D1E1，其中点O，B，D，E的对应点分别为点O1，B1，D1，E1，连接CD1，CE1，设点E1的坐标为（a，0），其中a≠2，△CD1E1的面积为S．
①当1＜a＜2时，请直接写出S与a之间的函数表达式；
②在平移过程中，当S＝1/4时，请直接写出a的值．
【分析】
（1）由点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），利用勾股定理即可求得AB的长，然后由点C为边AB的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得线段OC的长；
（2）由四边形OBDE是正方形，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，易得BD＝OE，BC＝OC，∠CBD＝∠COE，即可证得：△CBD≌△COE；
（3）①首先根据题意画出图形，然后过点C作CH⊥D1E1于点H，可求得△CD1E1的高与底，继而求得答案；
②分别从1＜a＜2与a＞2去分析求解即可求得答案．
【解答】
解：（1）∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），
∴OA＝4，OB＝1，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝√OA²+√OB²=√17
∵点C为边AB的中点，
∴OC＝1/2AB＝√17/2；
故答案为：√17/2．
（2）证明：∵∠AOB＝90°，点C是AB的中点，
∴OC＝BC＝1/2AB，
∴∠CBO＝∠COB，
∵四边形OBDE是正方形，
∴BD＝OE，∠DBO＝∠EOB＝90°，
∴∠CBD＝∠COE，
在△CBD和△COE中，
（CB=CO,∠CBD=∠COE，BD=OE）
∴△CBD≌△COE（SAS）；
（3）①解：过点C作CH⊥D1E1于点H，
∵C是AB边的中点，
∴点C的坐标为：（2，1/2）
∵点E1的坐标为（a，0），1＜a＜2，
∴CH＝2﹣a，
∴S＝1/2D1E1·CH＝1/2×1×（2﹣a）＝﹣1/2a+1；
②当1＜a＜2时，S＝﹣1/2a+1＝1/4，
解得：a＝3/2；
当a＞2时，同理：CH＝a﹣2，
∴S＝1/2D1E1·CH＝1/2×1×（a﹣2）＝1/2a﹣1，
∴S＝1/2a﹣1＝1/4，
解得：a＝5/2，
综上可得：当S＝1/4时，a＝3/2或5/2．
【点评】
此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及三角形面积问题．注意掌握辅助线的作法，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
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