前言 PREFACE
姜胜昊老师 专注初中数学压轴
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15．（2018·河北模拟）如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y＝k2/x（k2≠0）的图象交于点A（﹣1，2），B（m，﹣1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P（n，0），使△ABP为直角三角形，请你直接写出P点的坐标．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理的逆定理，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式、平行四边形的性质以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式；（2）①求出EP长度；②以OP为直径作圆，找出点M的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过作圆来确定点的数目与位置是关键．
【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标；
（2）①延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，由此即可得出PD、EP的长度，根据三角形的面积公式即可得出结论；
②假设存在，以OP为直径作圆，交OC于点M1，交OA于点M2，通过解直角三角形和勾股定理求出点M1、M2的坐标，此题得解．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝m/x（x＞0）的图象经过点A（1，4），
∴m＝1×4＝4，
∴反比例函数的关系式为y＝4/x（x＞0）．
∵四边形OABC为平行四边形，且点O（0，0），OC＝5，点A（1，4），
∴点C（5，0），点B（6，4）．
（2）①延长DP交OA于点E，如图3所示．
∵点D为线段BC的中点，点C（5，0）、B（6，4），
∴点D（11/2，2）．
令y＝4/x中y＝2，则x＝2，
∴点P（2，2），
∴PD＝11/2﹣2＝7/2，EP＝ED﹣PD＝3/2，
∴S△AOP＝1/2EP·（yA﹣yO）＝1/2×3/2×（4﹣0）＝3．
②假设存在．以OP为直径作圆，交OC于点M1，交OA于点M2，连接PM1、PM2，如图4所示．
∵点P（2，2），O（0，0），
∴点M1（2，0）；
∵点A（1，4），点O（0，0），
∴直线OA的关系式为y＝4x．
设点M2（n，4n），
∵S△AOP＝3，OA＝√1²+√4²＝√17，
∴PM2＝√(n-2)²+√(4n-2)²＝√(17n²-20n+8)=2S△AOP/OA=2S△AOP/OA=6√17/17
即289n2﹣340n+100＝0，
解得：n＝10/17，
∴点M2（10/17，40/17）．
故在▱OABC的边上存在点M，使得△POM是以PO为斜边的直角三角形，点M的坐标为（2，0）或（10/17，40/17）．
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