切线在圆锥曲线综合题中高频率地出现,举个栗子如下.
配图如下.
研究圆锥曲线的切线,有两个方法.
联立直线方程与圆锥曲线的方程,利用判别式等于零;
利用导数的几何意义求解切线.
本题第1问涉及到切点的横坐标,所以我们采用方法2来处理.
所以,A,M,B三点的横坐标成等差数列.
第2问给出弦长,需要利用弦长公式建立方程.为求弦长,就必须准备计算出x1+x2,x1x2,还有直线的斜率.
在抛物线中,弦所在直线的斜率计算也是有技巧的,与弦中点的坐标息息相关.
上面用到了“方程的思想”,即当两个量都满足同一个等式时,我们可以把这两个量看作方程的两根,从而简化运算.
第3问属于探究式问题.
这一问信息量很大,大家理解意思了吗?
我们首先要捋清各量之间的关系.
点M的位置决定了AB的方程,同时决定了点A,B的坐标.根据向量OA和向量OB的和决定了点C的位置,点C关于直线AB作对称点得到点D,然后判断点D是否有可能在抛物线上.
就是这么个事儿.
为此我们需要做下面几件事.
写出AB的方程
求出C点坐标
求出C点关于直线AB的对称点D
判断点D有无可能在抛物线上
下面开始执行.
如何写AB的方程呢?
通过上面的计算,我们知道,AB的斜率能够用M点的坐标来表示.
如果我们利用点斜式来表示直线AB的话,我们发现,用A点或用B点代入点斜式方程,都不利于方程的简化.
在已知x1+x2,x1x2的情况下,我们建议代入AB的中点,这样有利于简化方程.这就是技巧所在.
再求C点关于AB的对称点.
此处注意分类讨论,因为求对称点要用到两直线斜率相乘等于-1,但是也有斜率不存在的情况.
欢迎聪明的你提出更优化的解法.
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