左老师,
能不能讲下:求函数的单调增区间是导数大于零,还是导数大于等于零?证明函数在某个区间上是增函数,是证明导数在这个区间上大于零,还是证明导数在这个区间上导数大于等于零?这里一直比较困惑!
谢谢您.
周冀斌、lily,
首先,讨论的前提是函数连续且可导.当然,可导一定连续,实际上只需要函数可导就行.
关于连续与可导的关系见函数的连续与可导.
看栗子.
这道题如果出现在必修1,答案是什么呢?
先看教材对单调性的定义.
根据这个定义,答案是这样的.
如果这道题放在选修2-2里面,答案是这样的.
看出区别来了吗?
用定义法求单调区间时,端点带等号;用导数法求单调区间时,端点无等号.
换句话讲,如果端点值在定义域内,单调区间带不带等号,都是被教材所接受的.
下面理解三个道理.
举一个函数递增,但是导函数却不一定都大于零的栗子----三次函数y=x^3.它的图象如下.
必要性好理解,为说明不充分,我们举一个栗子.
图象是下面这样的.
那函数单增的充要条件到底是什么呢?
什么叫零点离散呢?
离散是与连续相对的.
比如刚才三次函数的导函数只有一个零点,当然属于离散.
再比如这个函数f(x)=x-cosx,图象如下.
我们看到,导函数的零点虽然很多,但都是离散的,无法形成一个连续的区间.
有了上面这些武器,我来解决你提到的三个问题.
用导数法求单调区间,用f'(x)>0
如果给出函数求单调区间,使用f'(x)>0.
因为教材里的例子就是这样示范的.
教材这样示范的理由其实就是刚才谈到的两点:
1.如果导函数的零点在定义域内,单调区间带不带这个零点,都是被接受的.
2.f'(x)>0是f(x)单增的充分不必要条件.如果你使用f'(x)>=0去计算单调区间,万一区间里包含连续的零点呢?
所谓多一事不如少一事,用f'(x)>0最保险.
证明函数在某区间是增函数,用f'(x)>=0+说明
利用刚才讲到的充要条件.
如果你能证明f'(x)>0,函数一定是单增的;
如果你发现除了f'(x)>0之外,还有f'(x)=0的情况,那还要说明导函数的零点是离散的.
已知函数在某区间上单调递增求参数范围,用f'(x)>=0+验证
这种题型考的频率非常高,处理方法与第2种情况类似.
看栗子----2008年高考湖北理科数学卷第7题.
用f'(x)<=0求解,最后验证b取端点值时,f'(x)的零点是否是离散的.(做了这么多题,我还真没怎么碰到过零点形成区间的
)答案选C.
请注意,这样的题型一定要带上等于0,不然会漏解.
写了大半天,希望对你们有帮助.
祝开心.
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