一位教师朋友问到下面这道题:
已知cosx为无理数,试求使cos2x,cos3x,......,cosnx都为有理数的最大正整数n.
读完题目大脑可能一片空白——完全没思路.
肿么办,肿么办,肿么办?
还是华罗庚的老办法——退.
从熟悉的、常见的、简单的、特殊的情况开始试探.
我们对x取特殊角,比如π/6,π/4,π/3,π/2等.经过一番尝试,发现π/6比较合适.
cosx | cos2x | cos3x | cos4x | cos5x | |
π/6 | √3/2 | 1/2 | 0 | -1/2 | -√3/2 |
π/4 | √2/2 | 0 | -√2/2 | ||
π/3 | 1/2 | ||||
π/2 | 0 |
于是,我们大胆猜测最大的n=4.
如何证明n=5不符合题意呢?
试试反证法.
我们要借助前面的已知条件制造矛盾.
假设cos5x也是有理数.
因为cos5x=cos(2x+3x)=cos2xcos3x-sin2xsin3x,又因为cos2x,cos3x均为有理数,所以sin2xsin3x也是有理数.
这样的话,cosx=cos(3x-2x)=cos3xcos2x+sin2xsin3x也是有理数,与题设cosx为无理数矛盾.
所以,满足题意的最大正整数n=4.
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