写了两篇关于指对函数的放缩文章《对数不等式的取等条件》《指数函数的切线放缩》之后,微信昵称为“N(μ,δ2)”写了下面的留言.
这几个不等式十分有用!但有一个小问题,学生需要通过什么现象才能判定使用这个不等式?一般我理解是看到e^x与lnx在一个不等式中出现时就会想到。而答案经常给出一种不等式左右两边同时除以x的构造法,左老师可否讲一下那种方法的具体思路?多谢!
我的回复是:
这种情况一般考的是函数的凹凸性.
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几个你应该熟悉的常备函数
在一个现代物理学家的眼中,磁场就像身后的椅子一样实际;在一个训练有素的学霸眼中,下面几个函数也是常备函数、熟悉函数.
没错,它们就是由x和e^x或者lnx组合而成的函数.
图像也很有特征,凸的凸、凹的凹.
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解题实战
看下面这样一个栗子.
可能的思路有哪些呢?
尝试1:构造差函数
因为左右的x是一样的,所以把右边部分移项到左边,构造新函数.
尝试一下,发现比较困难,因为新函数的导数难求,形式复杂.
尝试2:用加强证明
即证明左边部分的最小值大于右边部分的最大值.
尝试一下,发现也不能实现,因为最值求不出来.
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凹凸反转
结合今天的内容,考虑构造上面的那几个凹凸函数.
尝试3:先变形,用加强证明
不等式两边同时乘以x,即证下面这个不等式成立.
将左右两部分分别构造成两个新函数
下面证明f(x)的最小值大于g(x)的最大值即可,而这个证明很容易实现,过程就不赘述了.
从图象上看是这样的.
是不是一个凸,一个凹?
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