一种代数式的几何演绎，真巧妙

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这道题有多位读者朋友问到过，所以专门写一写.

1

代数式的几何意义

首先，赋予代数式几何意义.

条件如何理解？

如下图所示.

所求如何理解？

a是线段OA的长， b是线段OB的长，剩下的部分刚好是线段AB的长.所求的部分刚好是三角形OAB的周长.

2

巧用圆外双切线模型

继续做几何转化.

作一个与x正半轴、y轴正半轴均相切，且在直线AB上方与AB相切的圆.

这个圆能做出来吗？

首先要保证圆与x轴正半轴、y轴正半轴均相切.

这样的圆C也好找，圆心坐标为（r,r），半径为r（r>0）即可.

然后求出圆心到直线AB的距离，利用d=r求出r，那么圆就确定了.

当然，直线AB的方程如果变化，这个圆的方程也会随之变化.

看下图.

设圆C与x轴、y轴分别相切于M、N点，与直线AB相切于点Q.

根据圆的切线长定理，QB=BM，QA=AN.

3

问题转化，迎刃而解

见证奇迹的时候到了.

也就是说，所求的最小值取决于这个圆的半径的最小值.

注意，直线AB是过定点P（1,2）的任意直线.

我们要研究在满足要求的圆中，哪一个圆的半径最小.

观察上图.

所以，最小半径为5，故所求的最小值为10.

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参考阅读：一顿火锅钱，搞定高考圆锥曲线大题