初等数学几百年重大错误：将伪二重集误为二重集——认识伪二重集就可百字推翻百多年集论

黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303  510631）

[摘要]元点不少于两个的图A≌A。此初等几何应有的最最起码常识凸显初等几何2300年“起码常识”:“有无穷多个公共点的直线必重合”使中学几百年解析几何一直将两异数轴误为同一轴。“已成熟到不能再成熟”的初等数学在数与形的结合上一直存在尖锐自相矛盾的原因是初数一直将“更无理”的R外数误为R内数从而将两异直线段误为同一线段。“两图是否≌不能凭肉眼直观而须用坐标法严格证明”的思想方法和≌图概念是能放大无穷大倍的思维望远镜使人能一下子看到有形状相同但大小不同的伪重合伪≌射线看到无穷数列N=｛0，1，2，…，n，…｝以外的标准自然数，且是数学“x光机”使人能看到有外部形状相同但内部形状不同的伪≌点集。从而表明初数一直将伪重合集误为重合集、将N外数误为N内数。

 [关键词]N（R）外标准自然数(实数)；伪二重直线（段）；将N（R）外数误为N（R）内数从而将伪N（R）误为N（R）；推翻百年集论

教（学）而不思是师生的大敌。教学，首先要教人学习钟南山院士敢于实事求是坚持真理的高尚品德。人类认识自然数已有5000多年，公元前1100年中国人商高同周公的一段对话谈到了勾股定理说明人类认识几何学的直线段起码已有3000多年。这使初等数学中关于自然数组成的数列（集）的理论以及关于直线段（初数中最简单、基本的图形）的理论，是初数中的初数。本文指出初数一直将“自然数集”N外数误为N内数从而将无穷多各异假N误为N且一直将两异直线段误为同一线段——百年病态集论的症结。科教界将百年集论誉为是“人类最伟大的创造之一”（胡作玄《引起纷争的金苹果》27页，福建教育出版社，1993）。然而本文指出认识伪二重集就可百字推翻百多年集论。2300年初等几何 一直认定等长的直线段必≌；然而保距变换概念揭示有等长却互不≌的直线段。

一、图说变距变换必使一维空间中点集变形或变大小——点集的刚体运动不能使其构造材料点有任何减少

设集A=｛x｝表A各元均由x代表，相应变量x的变域是A。其余类推。同一字母x可代表各不同的数，同样，为简便起见本文中同一字母（例A）在此场合代表某集，在彼场合可代表另一集。其余类推。“实数集”R所有非负元x≥0组成R⁺。R⊃N各元x均有对应标准实数x+1、2x、xⁿ（n≥2）等等。与x∈R相异（等）的实数均可表为y=x+δ（增量δ可=0也可≠0），因各实数的绝对值都可是表示长度的数故各实数都可是数轴上点的坐标，于是x∈R变换为实数y=x+δ的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴上的质点x∈R(x是点的坐标)运动到新的位置y=x+δ还在管道g内（设各点只作位置改变而没别的改变即变位前后的质点是同一点）即实数的改变可形象化为g内质点的位置的改变。

有了面粉等食用材料还需有制作方法才能使面粉等变为面条等，同一袋面粉可制成面条也可制成馒头；构造点集的材料可是“点”，有了材料点还须有规定各点如何排列聚集的法则才能使各点聚集成各不同图形。有了各点还须有规定各点分别处于哪一位置的聚集法则才能确定一点集，正如有了各数还须有规定各数如何排列使其分别处于哪一位置的法则才能确定一数列一样。“各点的纵标y与横标x的关系只能是y=x”就是一种规定各点分别处于哪一位置的法则。同一个固定点p,其坐标可随着坐标系的选取的不同而不同，所以表示点的位置的坐标与点本身有根本区别。永不在同一位置的两质点a与b形成的点集作保（变）距运动可形成无穷多各异点集，构造各点集的材料均是这两点a与b。所以如[1]所述，质点的坐标与质点本身有根本区别从而使质点集有数（数组）集所没有的独特性质：构造两异点集的构造材料点可完全相同(不是元相同)，正如两异数列的组成成员可完全相同一样（数列N中有数与别的数互换位置等等就形成≠N的数列还由N一切数组成）。数形结合须跃出根本误区。注：集的组成成员与集的元素是有根本区别的，例N各元n变为1组成的集由无穷多个1组成，但其元却只有一个。

追根究底地深入到“点”这一层次上来说图A变为B是因构造A的各构造材料点p按规定分别移动到新的位置变为新的点p′形成新的点集B。非常显然：非空点集A只有失去了部分构造材料点才能变为其真子集V⊂A。“偷工减料”地挖去点集W一部分构造材料点使W变为V⊂W,这一减料变换使减料前、后的点集是构造材料点不相同的点集。显然任一点集W若有非空V⊂W则V只能包含W一部分构造材料点。数学图形可是“离散”的点组成的点集。“管道”g内点集W=｛-1，0，1｝（各数是点的坐标）各元点x不保距地运动到新的位置变为还在管道g内的新的点x+δ=x²（形成新的点集｛1，0，1｝），其中有两元点∈W运动后还回到原位置即新位=原位，有一元点-1运动后与元点1重合在同一位置内从而使W失去了一个材料点（这等价于W失去了一个元）而变为W的真子集V⊂W，V与W是构造材料不同的点集。这是减料变换。刚体运动不能使点集的构造材料点有任何减少，例直线A：y=1平移变为直线B：y=2，平移前、后的图是同一图说明A与B≌A是构造材料点完全相同的点集。A变为B≌A是刚体运动（运动的距离可=0），这种变换是不改变构造材料（组成成员）只保距改变各材料点位置的“变位不变料”变换。这是不减料变换，从而不能使点集变为其真子集。

框框……内的点集（图形）K中若至少有一对点之间的距离变小（大）（但各点都不能与别的点重合）则必使K变形为≠K，点还是这框框内的几个点，但其保序不保距地改变位置后形成的新点集与K有不同的“长相”; K中若有两点的距离由≠0变为=0则有可能等价于挖去K一个点使其变为其真子集。将R轴各无理数点都挖去使R轴变形为有许多“空隙”的有空隙直线J不≌R轴，但肉眼不能察觉J与R轴有不同的形状。同样可将K看成是有“洞”闭直线段，观察图K可一眼看出：直线段K保序不保距地均匀收缩变短不能成为K的真子集。不改变构造材料只改变构造方法（法则）就能使一点集变为另一点集。

二、不识“更无理”数使初等数学一直存在尖锐自相矛盾——能透视点集内部形状的数学“x光机”让中学生也能一下子认识3000年都无人能识的伪重合直线段

设本文所说集合往往是元不少于两个的集，“区间”就是課本上說的直线段（开或闭等）⊂相应数轴所有元点的坐标组成的集。因数集A各数可是数轴上点的坐标故可将A看成是点集，例“A的元点x=1”就是表示坐标为1的x轴上的点。定义：若点集A可保距变为B则称A≌B。显然A≌A。某人胃部长了个良性瘤不会使人外部形状有任何改变而只使其内部形状改变，通过x光机才能看到人体内部形状。由3个点组成的点集A=｛…｝中两端点不动，中点往左偏移但保持在两端点之间就使A变形为没中点的B不≌A；点还是这3个点∈A，但其不保距地改变位置后形成的点集B与A有不同的“长相”。B与A是构造材料点相同（不是元相同）但组织结构不同的“同材异构”体。

中学生都懂的初等几何最最起码常识e：图B≌B。R轴即x轴的子部射线A⊂x轴:x≥0各元点x沿x轴方向不保距平移变为点x+δ=x′=x²形成元为点x′的...即射线A伸缩成射线B（不≌A）：x′=x+δ=x²≥0。直线段μ=[0，1]⊂A⊂x轴各元点x沿x轴不保距平移改变位置变为点x+δ=x′=x²形成元为点x′的线段λ（不≌μ）=[0，1]⊂B。这不保距变换使μ两端点平移的距离均=0，其它各点x向左不保距平移的距离均≠0。λ与μ是构造材料点相同（不是元相同）但组织结构不同的“同材异构”体。“λ=μ≌μ”其实是肉眼直观错觉从而使初等数学存在尖锐自相矛盾：据常识e由λ不≌μ知λ≠μ（显然由λ≠μ知B≠A），但据中学函数 “起码常识”λ=μ≌μ。据≌图概念这等长且等势的λ与μ互不≌说明其大小相同形状（内部形状）不同，因两者是“同材异构”体从而有不同的内部形状。产生尖锐矛盾的原因不是几何常识e错了，而是初数一直将R外数误为R内数从而将两异区间误为同一区间，参见第五节。可见≌图概念是数学“x光机”使人能透视到直线段的内部形状，对此，作者另有已在“预印本”上公布的长文专门论述。数集μ～λ，据下述h定理4～μ的λ不是μ的任何真子集，λ≠μ且也不⊂μ（数学一直认定λ不⊂μ）说明λ=｛y=x²｝不能被μ包含而必有元y=x²=t″在μ=[0，1]⊂R⁺外，这μ外t″显然是R外标准正数——推翻百年“R完备、封闭”论。

可见μ=[0，1]⊂A与λ=[0，1]⊂B是3000年都无人能识的伪二重直线段。没数学x光机时的数学没有透视点集内部形状的能力从而是“肉眼”阶段的数学。铁板由铁分子组成，将油漆涂在铁板上，附着在铁板上的油漆不是铁分子组成的；同样，附着在射线A上的线段λ⊂射线B不是组成A的直线段。

三、图A≌A这一几何最起码常识凸显直线公理使初数一直将两异直（射）线误为同一线——让初数一直用而不知的R（N）外标准正实数（自然数）一下子浮出水面

 “无界”的曲、直线y=x³、 y=x互不≌从而更不相等。“无界”的点集N=｛0，1，2，…，x=n，…｝(各n是点的坐标）⊂x轴各点x=n沿x轴正向不保距平移变为点x+δ=y=2x=2n形成元为点y的｛0，,2，4，，…，y=2n，…｝不≌N从而更≠N。中学的“图A≌A”说明A变为B=A≌A不一定是恒等变换但一定是保距变换。

h定理1：数（点）集A=B≌B的必要条件是A≌B（初等几何应有最最起码常识：元点不少于两个的图B≌B）。

证：若A=B则A必可恒等变换（一种保距变换）地变为B=A≌A。证毕。

点集U=｛...｝均匀拉伸变换为V=｛.  .  .｝，相比下U（V）是组织结构较紧实（松散）的点集。当规定各点只能作位置改变而不能作别的改变时，不减材料点的均匀拉伸（压缩）变换将相比下组织结构较紧实（松散）的点集拉伸（压缩）成结构较松散（紧实）的点集。构造U的全部材料点按不同的构造法则可构造出≠U的V～U。组织结构不同的两点集有不同的内部形状从而互不≌。点集A变为B～A显然是不改变构造材料点的变换，因这是“一一对应”变换。A与B～A是构造材料点完全相同的点集。显然有

h逻辑学起码常识：构造材料点完全相同的两点集中的任一集都不能是另一集的真子集（V⊂A只包含A部分材料点）表明点集A不减料地变为B～A，与A构造材料完全相同的B不能是A的任何真子集。

一平面V由一个个小正方形盘□“瓷砖”组成（□各元点分别表示相应的复数），现各小□都相应变大为较大的大□得一新的平面W不≌V。这V变为W是V的均匀放大变换。□是构建平面的“瓷砖”，放大变换只能使各瓷砖变大不能使瓷砖有任何减少。稍有一点头脑的人都能看出由大瓷砖组成的W与由小瓷砖组成的V根本不同。复平面z均匀拉伸（放大）变为新的平面2z不≌z面，据h定理1z面≠2z面，中学的平面公理使复变函数论一直误以为2z面=z面。将各异平面误为同一面自然就会将各异直线误为同一线，因平面由无穷多相互∥的直线组成。

R各元x不保距变为y=2x组成｛y｝（y的值域）的几何意义是R轴即x轴各元点x沿管道g不保距平移变为点x+δ=y=2x生成元为点y的y=2x轴即x轴（空间直线）均匀拉伸（放大）变换为y=2x轴（不≌x轴）叠压在x轴上（y=2x轴可均匀压缩变换为x轴），据h定理1x轴≠y轴，两者是伪二重点集；中学的直线公理使中学几百年解析几何一直将这两异直线误为同一线。

射线R⁺={x≥0}⊂x轴各点x≥0不保距变为点x+δ=y=2x≥0生成元为点y的B即R⁺均匀拉伸（放大）成射线B=｛y=2x≥0｝（⊂y=2x轴）不≌R⁺，据h定理1R⁺≠B⊂y=2x轴，两者是伪二重集；显然放大变换不能使点集变为它的真子集，射线R⁺～B，据下述h定理4～R⁺的B不是R⁺的任何真子集（数学一直认定B不⊂R⁺）。B≠R⁺且也不⊂R⁺说明B=｛y｝⊂y=2x轴不能被R⁺包含而必有元y=2x=t>0在R⁺外。这R⁺外的t显然是R外标准正数。人类发现无理数后的2500年里一直无人能识“更无理”数t使初数一直将R外t误为R内数从而一直有函数“常识”：R⁺=B。可见R中有“更无理”正数x使其对应数y=2x在R外，从而使上述R轴即x轴与y=2x轴是伪二重点集。这推翻了“R轴各点与各标准实数一一对应定理”。

“一一对应”中的“一”的含义之一：一个不漏。其实“对R（N）一个不漏的每一（一切）正数元x>0都有对应y=2x>x>0(即都有数y比x大)”明确表示有标准正实数（自然数）y=2x>R（N）一切正数x而在R（N）外。关键是连文盲都知“一个不漏”的确切含义。

四、≌图概念让中学生也能一下子认识5000年都无人能识的“更无理”自然数推翻百年集论

h定理2：若B=｛y｝有元y与 x∈A有对应关系但此关系不是 y=±x+常数c（若B=｛y｝中变量y=f（x）且在自变量x的变域中有数x∈A但x的变域不是A），则B必不≌A。

证：若B≌A则A、B各元有一一保距对应关系：（A各元）x←→y=f（x），从而使B=｛y｝中变量y只能是定义域为A的函数y=f（x），使A=｛x｝任两异元x与x+△x的距离|△x|=|（x+△x）-x|=|f（x+△x）-f（x）|=|△y|=|△x|即△y=±△x；由函数y的增量△y知识，当且仅当y=f（x）=±x+c时才有△y=±△x（y=±x+c时△y=f（x+△x）-f（x）=±（x+△x）+c-（±x+c）=±△x）。所以B≌A各元y是由A各元x变为y=±x+c而变来的，从而使B≌A任一元y若与 x∈A有对应关系则此关系只能是 y=±x+c。证毕。

h定理3(实际上是[2]中的“h几何常识”）：至少有4元的W=｛x｝的任何真子集（至少有两元）V⊂W必不≌W。

证：⑴W=｛x｝可恒等变换地变为{y=x}= W。V=｛x｝⊂W=｛y=x｝，W=｛y=x｝中函数y=x的自变量x的变域W中有数x∈V⊂W 但x的变域是W而≠V⊂W，据h定理2 V不≌W。⑵从运动角度来说点集W作刚体运动才能产生出≌W的图，而这种运动是不改变构造材料点只保距改变各材料点位置的变换；这种不减料变换不能使W变为V⊂W。所以W减料变为V⊂W必不是刚体运动使V不≌W。证毕。

自然数公理使初数一直有“常识”：N各元n的对应数n+1均∈N。变数n取自然数∈N，挖去N=｛n≥0｝的0得N⁺=｛n≥1｝⊂N。工程图有虚线，可将点集N=｛0，1，2，…，x=n≥0，…｝⊂x轴看成是“虚射线”:.......（这不是省略号），N各点x=n沿x轴正向保距平移变为点x=n≥0的后继点x+δ=y=x+1=n+1≥1生成元为后继点y的H=｛1，2，3，…，y=n+1≥1，…｝≌N即N沿x轴平移变成虚射线H≌N。问题是自有无穷数列（集）概念和函数概念几百年来数学一直认定的中学“常识”：“射线H=N⁺={1，2，3，...，n≥1,...}⊂N”其实是将两异数列（集）误为同一数列（集）的肉眼直观错觉。理由：⑴据h定理3≌N的H不是N的任何真子集；⑵H=｛y=n+1｝中函数y=n+1的自变量n的变域N中有数n∈N⁺⊂N 但n的变域是N而≠N⁺，据h定理2H不≌N⁺，据h定理1 H≠N⁺，N⁺与H～N是伪二重集。N不可包含H=｛y=n+1｝说明H必至少有一元y₀=n₀+1>n₀∈N在N外，式中n₀=Ω∈N显然是N的最大元，因其后继y₀在N外。所以H∪｛0｝是似是而非的假N。显然Ω和Ω±1等等均是标准分析一直用而不知的N内、外标准无穷大自然数。人类认识自然数后的5000年里一直无人能知存在Ω（与1∈N相隔无穷多自然数∈N）使5000年数学一直否定有标准无穷大自然数，导致初数一直将“更无理”的N外数误为N内数从而将无穷多各异假N误为N，继而一直搞错了定义域均为N的无穷多一次函数y=n+1、y=2n+1、y=2n（或=2n+2）、...的值域；进而使康脱推出康健离脱的病态理论：N可～其真子集。发现Ω说明N的任何真子集的元都必少于N的元。详论见[1][3]。因N由R一切自然数组成故N外的自然数Ω+1必是R外数。

注：若给数列A增项则必使A变为B≠A，所以不断增项（元）的数列（集）是不断由一数列（集）变为另一数列（集）的非固定数列（集），而N（R）是固定的数集；某些不断运动的动点画出的图形是变点集。人有逻辑推理能力从而不应被“实无穷”中的假象迷惑。

据≌图概念起点相同且有无穷多公共元点的射线N⁺与H≌N互不≌说明两者形状相同但大小即长度不同，包含N⁺的N有元点在N⁺外说明N≌H（H与N大小即长度相同）比N⁺长；用坐标法来研究点集知N⁺各元点的坐标有最大数Ω，H各元点的坐标有最大数Ω+1>Ω。可见“两图是否≌不能凭肉眼直观而须用坐标法严格证明”的思想方法和≌图概念是能放大无穷大倍的思维望远镜使5000年都无人能识的N外标准无穷大自然数Ω+1一下子浮出水面推翻百年集论，且使人能一下子洞察到有长度不同的伪二重射线，从而不再被“实无穷”中的假象“凡射线必≌”迷惑。

设集B=｛x、y｝=｛x｝∪｛y｝=U∪V表B各元均由x或y代表，相应变量x（y）的变域是U（V）。设F=｛（x，y）｝表F是元为有序数对的数对集；I=｛（x，y），（，y）｝表I是由有序数对元和“单身”数元y组成的混合集，但F与I同时也可是由一个个数组成的数集。相应有数对序列和混合序列，其余类推。由一对对数组成的数集才可成为数对集，一无穷数集能否成为数对集？不能想当然而须严格证明才能下结论。设“数集J=｛（x，y）｝”表J各元均由x或y代表，J中一对数（x，y≠x）是两个（而不是一个）元。其余类推。因N中偶数与奇数可一一配对，所以数集N各偶数元x（=0，2，4，…）变为数对（x，y=x+1）得到的数集就是N=｛（x，y=x+1）｝=｛（0，1），（2，3），…，（x，y=x+1），…｝而由无穷多对数组成，挖去N中的0得数集N⁺={（，1），（2，3），（4，5）,...} 由无穷多对又加一个数组成，其中只有1是“单身”数，其它数都有“配偶”。设N⁺中奇数只能与N⁺中偶数配对就使N⁺中单身的奇数1变为非单身的同时必拆散一数对而生一新单身奇数，例（2，3）中2改与单身1配对，3就成新单身奇数。一单身变为非单身的同时必生一新单身的重新配对不能使N⁺中单身奇数有任何减少这一逻辑学起码常识说明N⁺中各奇、偶数之间任意重新配对后都必保持有一单身奇数使N⁺不能变为由无穷多对数组成的集。所以N⁺中各奇数不动但各偶数2,4,...都移到其左邻括号内改与括号内奇数配对成新的数对得N⁺={（2，1），（4，3）,...，（，Ω）}必还是由无穷多对又加一个数组成的集而必有一单身奇数Ω在一切新数对的后面（否则就违反逻辑学起码常识了）；即N⁺各偶数x（=2，4，…）都改与奇数x-1∈N⁺配对成新数对，在所有新数对组成的{（2，1），（4，3）,（6,5），...}之外必还有奇数Ω。数学使人推断存在海王星，逻辑学起码常识使人推断N⁺中必有单身的Ω。显然Ω是N⁺中最大数。

A=R⁺各元x≥0保距变为y=x+1≥1使A变为B=｛y｝即x轴的射线R⁺:x≥0沿x轴平移变为射线B={y=x+1≥1}≌R⁺。据h定理3≌R⁺的B不是A=R⁺的任何真子集，R⁺不可包含B={y=x+1}说明B必有元y=x+1≥1在R⁺外，这R⁺外y显然是“更无理”的R外标准正数。这表明R中有数x的对应数x+1“更无理”地突出在R外，初数一直将这类R外数误为R内数，从而误以为：射线通过平移可变为其一部分。初数的“～R⁺的B是R⁺的真子集”使康脱推出错上加错的更重大错误：R⁺可～其真子集。R⁺有子部射线B′={x≥1}⊂R⁺，据h定理3B′⊂R⁺不≌R⁺≌B；据≌图概念，起点相同且有无穷多公共元点的射线B′⊂R⁺与B={y=x+1≥1}≌R⁺互不≌说明两者形状相同但大小即长度不同，包含B′的R⁺有元点在B′⊂R⁺外说明R⁺≌B（R⁺与B大小即长度相同）比B′长；读者画出射线R⁺与B′⊂R⁺的图像可一眼看出R⁺≌B比B′长。用坐标法来研究点集知...。

在未识0与负数时人们通过“对一切正数x都有对应x-1<x”就知道有数x-1<一切正数x，同样“对R（N）一个不漏的每一（一切）元x都有对应数x+1>x”明确表示有数x+1>R（N）一切元x而在R（N）外。“真理都是很朴实的”，关键是连文盲都知“一个不漏”的确切含义。同样“对第二节中的数集μ=[0，1]⊂A⊂R的子部γ=（0，0.9]⊂μ一个不漏的每一（一切）元x>0都有对应x′=x²<x即对γ一切元x>0都有正数x′比x小”明确表示有“更无理”正数x′=t（是射线x′=x²≥0的元点的坐标）<γ⊂μ一切数x，这正数t显然<R一切正数x；这说明有与0“太近”的非0数±t近到不能还在R内了。这表明R中有“更无理”的太小正数x小到使其对应数x^k<x（常数k≥2）“更无理”地突出在R外而<R一切正数x。不识此类R外正数且将其误为R内数就使初数一直将伪重合直线段误为重合线段。

所以中学几百年“N（R）各元x的对应数x+1均∈N（R）”使初数将N（R）外数误为N（R）内数。R各元x保距变为x+δ=y=x+1组成元为y的｛y｝即R轴各元点x沿R轴正向保距平移变为点x+δ=y=x+1形成元为点y的y=x+1轴，亦即R轴（x轴）沿轴正向平移变为y=x+1轴，中学几百年解析几何认定y轴=x轴，因有初中的直线公理。其实这是将伪二重集误为二重集，因上述已阐明R各元x的对应y=x+1>x中必有y在R外。

五、几何学一直不知附着在直线a上的直线段不一定是a的子部使初数一直将两异直线段误为同一线段——百年病态集论的症结

h定理4: ～无穷数集W=｛x｝的A必≠W的真子集（至少有两元）V⊂W（因A不≌V从而更≠V）。

证1（这里百字推翻百多年集论）：W⊃V各元x的对应y=f（x）的全体是A=｛y=f（x）｝～W，A=｛f（x）|x的变域是W｝中的y=f（x）的自变量x的变域W中有数x∈V⊂W 但x的变域是W而≠V⊂W，据h定理2 V不≌A，据h定理1V≠A。证2：点集W不减料地变为A～W说明A与W是构造材料完全相同的点集，据h逻辑学起码常识A不能是W的任何真子集。证毕。

h定理5：若有对称中心点的A≌B则A任一元点p到A的中心点的距离ρ=B任一元点p′到B的中心点的距离ρ′即ρ′与ρ是同一距离函数。

证：A各元点p保距变为点p′（p）生成B=｛p′（p）｝≌A，A任一元点p的像点p′（p）∈B是B任一元点p′；A的中点p₀的像点p₀′(p₀)∈B是B的中点，因保距变换将A的中点变为B≌A的中点。据A≌B的定义，A任一元点p到A的中点的距离ρ=B任一元点p′（p）到B的中点的距离ρ′。证毕。

据h定理5 可证附着在某平面上的直线段与圆盘等不一定是该面的子集。

第一节已指出：直线段K均匀收缩变短不能成为K的真子集。x轴可收缩成y=x/2轴不≌x轴。中学有几百年函数“常识”：定义域为[0，2]⊂R的y=0.5x的值域=[0，1]⊂R。直线段L={x}=[0，2]⊂x轴有子部U={x}=[0，1]⊂L，L各元点x不保距变为点x+δ=y=0.5x得元为点y的直线段U′={y=0.5x}（～L）=[0，1]⊂y=0.5x轴即L均匀收缩变短成U′⊂y=0.5x轴附着在x轴上。“～L的U′=U”其实是几百年肉眼直观错觉。理由：①U′={y=0.5x}有元y=0.5x与x∈U={x}⊂L有对应关系y=0.5x但此关系不是y=±x+c（c可=0），据h定理2 U不≌U′。假设2300多年 U≌U′成立则据h定理5相应的距离ρ=ρ′，然而U任一元点x到U的中点x=0.5的距离ρ=|x-0.5|，U′任一元点y=0.5x到U′的中点y=0.5的距离ρ′=|0.5x-0.5|≠ρ；故假设不成立即U不≌U′。据h定理1 U≠U′。据≌图概念，U′与U⊂L互不≌说明两者大小相同形状（内部形状）不同，从而是3000年都无人能识的貌似重合的伪二重、伪≌点集。骨头的内部形状随骨密度的改变而改变，同样等长的U′与U有不同的内部形状，“两图是否≌不能...而须用坐标法严格证明”的思想方法和≌图概念是数学x光机使人能看到 U′与U有不同的内部形状。出现医学（数学）x光机使医学（数学）发生革命飞跃。②据h定理4～L的U′={y=0.5x }=[0，1]⊂y=0.5x轴不是L={x}=[0，2]⊂x轴的任何真子集，L不可包含U′说明U′⊂y=0.5x轴必至少有一元点y=0.5x∈y=0.5x轴在L外，这L外点的坐标y=0.5x显然是“更无理”的R外标准正数。③“对L={x}=[0，2]⊂R一个不漏的每一（一切）正数元x>0都有对应正数y=0.5x<x”明确表示有“更无理”正数y=0.5x=t′（是y=x/2轴的元点的坐标）<L=[0，2]⊂R一切正数元x>0，这正数t′显然<R一切正数x。这表明L中有“更无理”的太小正数x小到使其对应正数0.5x<R一切正数，初数将这类R外数误为R内数就有“U′=U”，进而使康脱推出病态的“定理”：L～U⊂L。百年病态集论的症结：初数将根本不是无穷集的真子集误为其真子集。

直角三角形⊿的斜边c～水平直角边a，即c经旋转和压缩变换可变为a～c。3000年不识伪≌直线段使初数认定a经刚体运动变为附着在c上的直线段就必成为c的一部分，从而以为病态的集论是“革命发现”。

六、结束语

由上可见“没标准无穷大自然数”这一中学“最不成问题”的“常识”其实是5千年不倒的极顽固错误碉堡；附着在x轴上的点及点集不一定是x轴的子部。详论见[1] [2][3]。“肉眼”数学因目光太短浅和没数学x光机从而一直被“实无穷”中的假象迷惑。以上表明数学家们在打基础的中学阶段就受到了影响自己一生的重大误导教育而又一直被蒙在鼓里，从而受害终生。例使“天才”康脱误入百年歧途推出百年病态谬论“部分可=全部”。“基础不牢地动山摇”。以上推翻了：直线公理、平面公理、自然数公理。限于篇幅还有一些重要论据没能收入本文。备注：本文的主要论据已在“预印本”上公布（见预印本上黄小宁的论文）。

参考文献

[1]黄小宁。凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，学周刊，2018（9）:180。

[2]黄小宁。凭中学数学常识发现数学课本一系列重大错误——让中学生也能一下子认识2300年都无人能识的直线段[J]，数理化解题研究，2016（24）:19。

[3]黄小宁。初等数学各常识凸显中学数学有一系列重大错误——“一一配对”让中学生也能一下子认识5千年无人能识的自然数[J]，课程教育研究，2017（50）：107。