图说在数列最起码常识面前百年集论不堪一击

——数学科普书存在以讹传讹的错误

                                   黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）

[摘要]小学生可看图识字，数列最起码常识使中学生可看图识5000年都无人能识的{0,1，2，...，p，...}外无穷大自然数∈N={n}，不等式起码常识凸显存在<（>）R一切正数的标准无穷小（大）正数；伟大科学家莱布尼茨早就洞察到存在这类无穷数但一直未能从数的高度上来证明存在这类“更无理”数。所以“没标准无穷大自然数及其倒数，没R外...”这一中学科普“常识”其实是极其落后的认识。医学不知血有血型之分就会医死人，初等数学不知数集有奇、偶型之分就会将假N误为N,进而使康脱推出错上加错的更重大错误：N可～其真子集。

[关键词]推翻百年集论及百年自然数公理；似是而非的假N={n}；标准无穷大、小正数；可成与不可成为数对集的数集；世界著名数学家莱布尼茨

著名科学家周光召精辟指出：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”（南方周末报，2007.12.6，A8版）。“科学”共识：初等数学领域绝不可能有颠覆性创新。挑战“绝对不可能”的“反科学”的“太狂妄”发现来自太浅显的数列最起码常识及不等式起码常识，这使凡懂数列概念的中学生也有能力分辨本科普文是歪理邪说还是...？党中央非常重视科普工作。面向大众的科普书若有以讹传讹的错误则其影响是极其重大的。李醒民等编科普书《10个震撼人心的科学发现》中百年集论名列各重大发现之首。有科普书将百年集论誉为是“人类最伟大的创造之一”（胡作玄《引起纷争的金苹果》27页，福建教育出版社，1993）。然而科普文《数学科普：看图识破康脱百年“骗术”：“部分可=全部”》（见深圳科普网）指出集论是极荒唐谬论，所以“最伟大创造”其实是以讹传讹；集论是统治数学王国的国王，科普文将这国王“拉下马”了，但限于篇幅该文不得不漏掉了极为重要的论据，本科普文是对该文的重大补充。读书的科普知识：学习前人知识是为了见前人所不能见以创造出前所未有的知识（杰出人才的特征），而非为了简单重复前人认识和应付考试。注：现在是互联网时代，俄罗斯一数学家获百万奖的论文只是发表在网上而没在纸质期刊上发表。

1.数学大师莱布尼茨洞察到客观存在无穷小、大数但一直只有感性认识

数学史表明没无穷大、小数就没高等数学，正如没数学就没物理学一样。有过人科学洞察力的莱布尼茨在其科学实践中深深体会到:“虽然人们经常使用的只是通常的数，并没有引进任何无限小或分母无限大的数，但它们却是同时存在的^[1]”。百年极限论之前的二千多年数学一直“非法”使用无穷大、小数进行计算推理从而取得一系列辉煌成就（“实践是检验真理的标准”），但对这类未能引进但又一直使用的“黑数”一直无力实现由感性认识到理性认识的飞跃而一直解不开为何“用‘不存在’的‘数’进行推理计算竟能使莱布尼茨及数学得到一系列正确结果”谜团，正如西医无法解开：人体“不存在”经络系统，但经千百年实践检验的中医的经络学说却为何行之极有效这一谜团一样。伟大科学家的太伟大实践往往要超前理论千百年。经千百年实践检验的中医药学因还处于理论上还说不清的唯象论阶段故有人说其是伪科学，因不能从理论的高度上来说清楚存在无穷小、大数使标准分析否定存在这类数。后文证明标准分析一直在使用R外标准无穷小、大正数，只不过一直将其误为∈R罢了，正如群众将便衣警察误为非警察一样；没这些“非警察”(标准无穷小、大正数) 就没社会的平安（没标准分析）。

2.图说在数列最起码常识面前“人类最伟大创造”不堪一击——看图识5000年都无人能识的标准无穷大自然数

设集A=｛x｝表A各元均由x代表，相应变量x的变域是A；F={（x，y）}是有（无）序数对集；集B=｛x、y｝=｛x｝∪｛y｝=U∪V表B各元均由x或y代表，相应变量x（y）的变域是U（V），其余类推。“自然数集（列）”N={n}，“实数集”R⊃N各元x均有对应标准实数x+1、2x、等等。同一字母x可代表各不同的数，同样为简便起见本文中同一字母（例A）在此场合代表某集，在彼场合可代表另一集，其余类推。设“集（序列）A～B（集A对等于B）”也表：A与B有一样多个元（项）。

本文将序列的首项编为第0号项且设在某些时候可将序列（集合）中的某些逗号省略。数列{a_n}各数a_n有序号数n与之配对而均在第n号位。各点（数）按规定进入各指定位置才能形成一点集（数列）A，挖去A一个点（数）就留下一个“洞”（ 空位）。数列A=｛3，2，3｝中一个3与0号位配对成A的首项，另一个3与3号位配对成A的末项，挖去A一切数就留下一空位序列。所以{a_n}一个项由一个数a_n和该数所在位置的序号数n（a_n在第n号位）这两个因素决定。中学应有的

数列最起码常识c:数列A各数任意改变前后位置（一位只能容纳一数）形成的新数列还由A全部数与位置组成。

变数n取自然数n∈N。数列N={n}各数n均在第n号位置，一n若移动到别的空位内就得一新的项及新的数列。位置可用○形象表示从而可看图识革命道理：N={ⓞ① ② ...ⓝ...}中ⓝ表示n在第n号位内而与该位配对成N的第n号项，即“无穷旅馆图”N中数n（可形象化为n号球员）都“住”在n号“单人房间”○内；一n前移“夺占”n′的房间的同时n的原住房也变空，故被夺房的n′可后移到空房内。将N各数挖去就得空房序列○○○...。{ⓞ① ② ...ⓝ...}中1（号球员）前移夺占0（号球员）的房间变为新首项①的同时0可后移到空房内而处在①的后面，...。可见N各非0数n≥1可保序前移一格改与其左邻的n-1≥0（n≥1）号房配对成新的项，而0可后移到N的空房内从而形成有末项的M={① ② ③ …ⓞ}即各n≥1改与n-1≥0号房配对后，0就可移到各非0数的后面而处在第Ω号房内。据起码常识c，M包含N一切数从而M中必有0，而0的位置显然只能在...，不能想当然地简单认定M无ⓞ项，对“无穷”须特别小心谨慎、过细，否则就要出错，凡违反起码常识c的理论必是自相矛盾的理论。数学使人推断存在海王星，起码常识c使中学生也能推断M有末项（同理可证有首项的无穷序列必有末项）。Ω显然是数集N的最大元（而与1相隔无穷多个自然数∈N）。所以自有函数和无穷数列（集）概念几百年来数学一直认定的“N各元n的对应数n+1、2n、…均∈N”是极幼稚的落后认识。显然Ω及Ω±1等等都是标准无穷大自然数，其倒数是无穷小正数。发现Ω表明N的任何真子集的元都必少于N的元——推翻百年集论。可见“没标准无穷大自然数”这一中学科普“常识”其实是5000年不倒的极顽固错误碉堡，但在数列最起码常识c面前此碉堡不堪一击。人类认识自然数后的5000年里一直无人能识无穷大自然数Ω及Ω±1等使初等数学及数学科普书一直断定：各标准自然数都不可与1相隔无穷多个自然数。

注：若给数列A增项则必使A变为B≠A，所以不断增项（元）的数列（集）是不断变化的非固定数列（集）。数，有固定数与变数之分；数集，有固定集与变集之分（集随元的变化而变化）。

 h定理1（改偶定理）：各x与各y一一配对成一无穷“夫妻”有序数对集F={（x，y）}内“男、女”双方中有“人”改配偶(新配偶必是F中人)使有的人变成“单身”后，一方出多少个单身，对方也只能出多少个单身；故各单身必可一一配对。

证：因不可有“重婚”故F中任一非“单身”改与另一非单身配成的新数对（x，y）的各自的原“配偶”就成一对可配对的单身，一单身“再婚”就或使对方一单身也再婚或拆散一数对而生一与再婚者同一方的新单身，没别的可能。所以F中的x与y任意重新配对后一方出多少个单身，对方也只能出多少个单身。证毕。

N=｛n≥0｝所有非0元n≥1组成N⁺=｛n≥1｝⊂N。N⁺各元n≥1的对应数y=n-1≥0（n≥1）的全体是N′={y=n-1≥0}～N⁺。A=N（球员集）各元x=n（号球员）与B=N（房间集）各元y=x=n（号房间）已一一配对：x=n（号人）↔y=x=n（号房）。现A=N各非0元x=n≥1（号人）改与y=n-1（n≥1）≥0 （号房）配对使各x=n≥1（号人）有新“配偶”y=n-1≥0（号房），所有新配偶y的全体是

N′（房间集）={y=n-1≥0}={0，1，2，…，y=n-1，…}⊆B=N

；这新配对使A=N的元x=n=0（号人）变成单身（其原配偶y=0∈N′改与x=n=1配对了），据改偶定理B=N也必有唯一的单身y=Ω（可成为x=n=0的新配偶），这N′⊆B=N外的Ω>N′一切数从而是B=N的最大元，而Ω-1是N′的最大元。初等数学一直将N′误为N。

h定理2：元不少于两个的A的任何真子集U都不可～A。

证：元为x、y的A=U∪V=｛x｝∪｛y｝，U=｛x｝⊂A且A各y元∈V都在 U外。设A=U∪V是一张纸阳面上的集，K=U=｛x｝是阴面上的集，A=｛x、y｝各x元∈U⊂A与K=U各元x一一阴、阳配对成一对对有序数对（x，x）（恒等配对）后，K=U各元x都“结婚”了但A各y元都是“单身”。原因显然是A的“人数”多于K=U的“人数”，假设否定此判断的“有配对法能使无穷集A各元x、y与K=U各元x一一配对”成立则在A各元与K=U各元一一配对后再令K=U各元x改与=自己的元x∈U=⊂A配对（恒等配对），这一新配对使K=U保持无单身元，据改偶定理A也没单身，然而事实上A=U∪V各y元∈V都是单身；故假设不成立即没配对法能使A各元与K=U各元一一配对。证毕。

N各元n的后继y=n+1的全体是H={y=n+1}～N，据h定理2H～N不是N的任何真子集，H≠N且H不⊂N即N不能包含H说明H必至少有一元y=y₀=n₀+1>n₀∈N在N外，式中n₀=Ω∈N显然是N的最大元，因其后继y₀在N外。

3.不等式起码常识让2500年都无人能识的R外标准无穷大、小正数一下子原形毕露

R所有正数元x组成的A⊂R各元x>0的对应数y=x+1>x（A各元均由此x代表）∈A，此式中：x能遍取其变域A的一切数x使y可遍比A一切数x都大而代表A⊂R外数（这是不等式起码常识），而A外正数y>x是>A⊂R一切数x的R外标准无穷大正数；“对R各正数x>0都有变数y=x-1<x”表示有数y<R一切正数x，同样“对A⊂R各元x>0都有对应y=x+1>x”表示有数y>A一切元x。同样A⊂R各元x>0的对应数y=x/2<x∈A，此式中：......。

h定理3：有最小（大）元的无穷集A各元x若可保序变大（小）为y（x）>（<）x组成B=｛y｝～A则必至少有一y在A外而>（<）A一切数x。

证1：由A有最小（大）元知B≠A；据h定理2B～A不是A的任何真子集，B≠A且不⊂A即A不能包含B说明B必至少有一元y在A外。证2：“对A一个不漏的每一（一切）元x都有对应y>（<）x”明确表示有数y（∈B）>（<）A一切数x。这是语文起码常识，关键是连文盲都知“一个不漏”的确切含义。证毕。

R所有非负元x≥0组成有最小元的R⁺各元x≥0变大为y=x+1>x组成B=｛y｝～R⁺，据h定理2B至少有一元y在R⁺外，这R⁺外的y>x≥0显然是>R⁺一切数x的R外标准无穷大正数。所以初等数学几百年“R各元x的对应y=x+1均∈R，所有y组成的集=R。”是重大错误。

流传几百年使世人深信不疑的中学函数“常识”：“B=（0，1]⊂D=（0，2]⊂R中有最大元的D各元x>0变小为y=x/2<x∈D组成的B′={y=x/2}（～D）=B=（0，1]⊂D”其实是将假B误为B；理由：⑴据h定理3B′至少有一元y在D外；⑵不等式起码常识：y=x/2<x∈D中：x能遍取D一切数x使y可遍比D一切数x都小而代表D⊂R外正数；这D=（0，2]⊂R外的y<x（正数x≤2）显然是<R一切正数x的R外标准无穷小正数。

可见存在<（>）R一切正数的标准无穷小（大）正数y及其倒数1/y，确如伟大的莱布尼茨所说:它们与R内有穷数是同时存在的；人类发现无理数后的2500年里一直无人能证明存在这类R外的“更无理”数，标准分析一直使用这类R外数但一直误以为其∈R。

4.自有无穷集概念几百年来一直不知数集有奇、偶型之分使初数将假N误为N

元为有（无）序数对的数对集F=｛（x，y）｝同时也是由一对对数组成的数集F=｛x、y｝，例｛（1，2）（3，4）｝既可表示两个元的数对集也可表示四个元的数集；数集F中每两个数都用括号括起来不能使F变为别的数集，正如张三穿上衣服不能使其变为别的人一样。相应有有序数对（或对子）序列，...。显然当且仅当数集F由一对对数组成时才能成为数对集。

将一数对（x，y）中的x挖去就留下一“单身”数y。设I=｛（x，y），y₁｝表I是由数对和一个单身数y₁组成的混合集。其余类推。

数列{a_n}各数a_n 一增为二地变为（a_n，b_n）就得数对序列{（a_n，b_n）}。注意到其也是由一个个数组成的数列，例{1，2，3，4}与{（1，2），（3，4）}是同一数列（集）。

定义：数对序列的所有数组成的数列称为偶型数列，即以单个数为个体的数列A若同时也可是以数对为个体的数对序列，就称A为偶型数列，否则称为奇型数列。相应有奇、偶型级数、数集。既是数集同时也是数对集的集才是偶型数集。

h定理4：无穷混合数集I=｛（x，y），y₁｝（各数互异且（x，y）是无序数对）各数不可两两配对即I只能是奇型数集。

证：I由无穷多对又加一个数组成而非由无穷多对数组成即其不是由一对对数组成。I中数只能与I中数配对使单身y₁变为非单身的同时必拆散一数对而生一新单身，新单身变为非单身的同时必拆散一数对而生一更新的单身，这是一对一的。所以去掉I中的一切小括号后再将I中数任意两个数为一组地进行分组后总有一数不能在组内成单身。证毕。

N=｛n｝的偶数n=2p=0，2，4，...和奇数n=2p+1可一一配对使N各数n可两两配对成偶型序列（集）N=｛（0，1）（2，3）…（2p，2p+1）…｝，挖去N的0得N⁺={1，（2，3）（4，5）...}=｛n≥1｝是既有数对又有唯一“单身”数1的混合序列（集），N⁺各数n≥1减1变为y=n-1（≥0）∈N使N⁺变为混合集N′={0，（1，2）（3，4）...}={n-1≥0}～N⁺⊂N，N′不可成为数对集说明可成为数对集的N={n≥0}≠N′={n-1≥0}（n≥1）。所以N′～N⁺⊂N是似是而非的假N。包含N′的N≠N′说明N必有元在N′外。N⁺有最大元n=Ω说明N′有最大元y=n-1=Ω-1<Ω。初等数学一直将～N⁺的N′误为N⊃N⁺从而使康脱推出病态的：N⊃N⁺～N。

长江一切水分子组成集A，将一个糖分子放入A内使A变为B，现有的检测仪器无法检测出B中有一个糖分子从而≠A；数学几百年都不能察觉无穷集N≠N′，因N中除了Ω，其余元都也∈N′，而无穷大数Ω∈N又与N′的元Ω-1只有无穷小的差别而几乎重合。

有人说N⁺={（1）（2，3）（4，5）（6，7）...}=｛n≥1｝各偶数都前移到其左邻括号内从而得S={（1，2）（3，4）（5，6）...}是偶型数集即只要改配对法则重新配对就能使N⁺各数两两配对。其实这是被“拆东补西”术迷惑，殊不知拆东补西地让（2，3）中的2与1配成新数对（1，2）,3就变为新单身在新数对的后面，...，N⁺中每一非单身n前移到其左邻括号内成为有新配偶的新非单身，n的原“配偶”就成一新单身在新数对的后面，可见一单身变为非单身的同时必生一新单身在新数对的后面，从而总保持有一单身；这说明S中必有一单身在一切新数对的后面。数学使人推断存在海王星，据h定理4S中各新数对后面必存在唯一的单身数从而使S是奇型数列。没思维望远（显微）镜从而目光太短浅的“肉眼”数学一直被无穷对象中的假象迷惑，就如幼稚小孩以为魔术师真能无中生有那样。人有逻辑推理能力，科学“慧眼”能洞察S中有肉眼不能察觉的单身末项。

5.好玩的数学玩了个让无穷多物体凭空消失的“魔术”迷惑世人几百年

○与●分别是围棋的白子和黑子，棋子序列Z₁={●_p}={●●●...}中的●_p表示Z₁的第p（=0，1，2，...）号项，一●与Z₁中第p号位配对成Z₁的第p号项●_p（有时可将下标p省略），0号项●₀是首项，挖去Z₁的一切●就留下一空位序列～Z₁。数列N=｛n｝各偶数n=2p变为白棋子○各奇数n=2p+1变为●，得棋子序列Z={○●○●○●...}（“通项式”是：○_2p，●_2p+1）～N，其中p=0，1，2，...的变域是P={p}，问题是自有函数和无穷数列概念几百年来数学一直认定P={0，1，2，...，p，...}=N=｛n｝从而有：Z₁={●_p}～N。一空间位置只能容纳一棋子，Z中各棋子与各位置已一一配对；一●离开原位置前移“夺占”0号位置成为新首项的同时必生一空位，故原在0号位的○可后移到空位内而处在新首项●的后面，...；一●（只能移动到Z的位置内）前移后必生一空位在此●的后面。所以{○_2p，●_2p+1}各●_2p+1项中的黑子●可保序前移到p=0，1，2，...号位内成新项●_p，而各○_2p项中的○可保序后移到空位内得J={●●●...；...(省略号表示有无穷多个项)}(几百年假象：J=Z₁={●_p})。据起码常识cJ 包含Z一切○从而J中必有无穷多○在各●的后面，因棋子的移动只是改变位置。“幼稚小孩”以为“魔术师”真能不使用外力粉碎棋子而仅改变棋子的位置就可使{○●○●○●...}中○凭空消失（注：由中学几百年“N=｛n｝=P={p}”得J={●●●...；...}=Z₁={●_p}）。J中任一○（在一切●的后面）处在第n号位，这里的序号数n显然是无穷大自然数∈N——看图识标准无穷大自然数。显然J的首项与任一○之间的所有项形成一有首、末项的无穷序列。上文表明J一切●组成的{●●●...}有末项。

地球上及飞机上的人因视野太狭窄从而凭肉眼不能看到地球是球体，没思维望远（显微）镜从而目光太短浅的“肉眼”数学无法正确认识无穷远处的情况而有肉眼直观错觉：J中没○,正如有肉眼直观错觉：两∥直线可在无穷远处相交（人站在两铁轨之间看两铁轨是逐渐靠近而不∥的）那样。肉眼不能将J的项都看到，但人有逻辑推理能力，“慧眼数学”能洞察J中有无穷多个○而不被肉眼所骗。

混合序列I={（+1），（-1，1），（-1，1），... }（由唯一的单身数1和数对（-1，1）组成）中各逗号变为加号得x=（+1）+（-1+1）+（-1+1）+...（（-1+1）内有两个项：-1和1）=1+0=1的原因是式中1比-1多，几百年级数论一直认定：通过重新配对，x中的-1和1能一一配对使x变为（1-1）+（1-1）+（1-1）+...=0（这无异于说重新配对可使x中-1变得与1一样多或说...）。这是错误的，因据h定理4I不可成为有序数对序列。道理非常简单：重新配对不能使x中的1和-1的个数有任何改变。“肉眼”数学一直被无穷对象中的假象迷惑，就如幼稚小孩以为魔术师真能无中生有那样。科普书《无穷的玩艺》（朱梧槚等译，南京大学出版社，1985）125页：级数1-1+1-1+1-1+...。如果改变运算次序并把这些项成对组合起来：（1-1）+（1-1）+…，就得到一个仅以0构成的级数。但是，…。症结是在没证明1-1+1-1+...中的-1与1能一一配对时就断定其可加括号为∑（1-1）=0就会造成自相矛盾的一片混乱。

详论见[2][3][4]。

6.结束语

 “肉眼”数学因目光太短浅、视野太狭窄从而一直被无穷对象中的假象迷惑。破除迷信、解放思想、实事求是才能创造5千载难逢的神话般世界奇迹使数学发生革命飞跃：从“肉眼”数学一下子突变成科学“慧眼”数学。王前：“当代数学大师陈省身先生曾预言:21世纪将是中国数学界在世界上发挥重大影响的世纪^[5]”。

参考文献

[1][美]鲁滨逊著，申又枨等译。非标准分析[M]，北京：科学出版社,1980:30。

[2]黄小宁。凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，学周刊，2018（9）:180。

[3]黄小宁。证明数偶集{（1,2）（3,4）…（2n-1,2n）…}有最大数元——反复论证集有奇、偶型之分纠正课本重大错误[J]，科技视界，2014（24）：362。

[4]黄小宁。初等数学各常识凸显中学数学有一系列重大错误——“一一配对”让中学生也能一下子认识5千年无人能识的自然数[J]，课程教育研究，2017（50）：107。

[5]王前。探索数学的生命：哲人科学家大卫·希尔伯特[M]，福州：福建教育出版社：1996：188。