如何证明拉格朗日中值定理

1 问题描述

很多人不明白怎样用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理。

2 问题分析

拉格朗日中值定理是以（罗尔定理）为基础更进一步的思想，也可以把罗尔定理看作拉格朗日中值定理的一个特殊情况，拉格朗日中值定理经常在题目中以不等式的证明出现。

3 解决方案

首先我们思考拉格朗日中值定理的证明

既然拉格朗日中值定理使用罗尔定理来推导出来的那我们要满足罗尔定理的条件，首先我们规定区间[a,b]，之后我们要知道用什么方法来得出拉格朗日中值定理？

这里我们用到的方法是红色曲线与直线AB在[a,b]中横坐标相等纵坐标的距离来证明拉格朗日中值定理。

我们令曲线为f(x)，直线AB为L(x)，距离为d(x)。

首先我们要得出直线的方程用f(x)来表示由端点A,B可知直线AB的斜率为[f(b)-f(a)]/(b-a)。

再通过点斜式求得直线L(x)的方程为：L(x)=f(a)+[f(b)-f(a)/(b-a)](x-a)。

之后将曲线方程与直线方程做差得d(x)=f(x)-L(x)。

随后我们就可以用罗尔定理来证明，d(a)=d(b)=0，d(x)函数是初级函数即在[a,b]内是连续函数，在(a,b)可导，所以得出结论d’(x)=f’(x)- [f(b)-f(a)/(b-a)]。

根据罗尔定理在(a,b)内至少存在一点令其为z使得d’(z)=0，方可得出拉格朗日中值定理的结论f(b)-f(a)= f’(x) (b-a)。

4 总结反思

高数中我们总是不知道很多结论怎么用怎么来的，以至于我们遇到问题也不知道怎么解决，证明定理我们首先要知道通过什么方法得到的比如是用距离、斜率还是其他方法。其次就是证明时所要用到的其他理论是什么。这种思想还可以广泛用到各各领域，以至于解决更多问题