【第403期】基本不等式

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基本不等式

基本不等式是数学中的一个重要结论，在解题时运用得当可以起到举重若轻.这一不等式可以表述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

    用数学符号表示为：

对于这一重要的不等式，我们经常在用，但是许多学生对其了解不到位，在解题过程中出现一些不必要的错误，下面我们对此进行逐步深入探讨.

一、证明

这个不等式证明方法较多，作为数学爱好者可以进行证明方法的探索与研究，对于一般的学习，我们只需要掌握下面两种证明方法即可.

说明：这一证明方法就从根源上揭示了不等式成立的条件以及特殊情形（等号成立）的成立.

说明：利用几何关系证明过程中线段长的非负性对应了不等式中的条件.两个证明方法从代数和几何的角度简洁明快的给出了证明，对此一定要理解，至少要能够独立的完成该定理的证明.

二、公式的理解

1.公式的变形

公式的学习是一个循序渐进的过程，对公式的变形就是深入学习的一个最佳途径，这里给出一些常用到的变形.为了便于讨论，下面出现的字母没有特别说明的都是指非负数.

2.公式成立的条件

数学公式的运用都是有其成立的条件，这点不难理解，就像我们吃饭时因为肚子饿了一样自然.在不同的题目中，公式使用条件仍然相同，不同的是其表达形式，对此要特别留意.

3.结论的转化（求函数最值）

基本不等式的一个最大用途就是求最值，其基本思想可以表述为：

这两个结论的理解并不难，只需要将基本不等式中的对应代数式进行替换，就可发现结论的正确性.

三、题型归纳

基本不等式的问题一般来说比较隐蔽，需要挖掘，但是这并不妨碍我们由浅入深对此进行归纳，以适应学习的进程.

题组一：直接运用

所谓直接运用，就是题目中的条件比较明显，只需要认真观察可发现公式的影子，无需变形，直接运用公式求解.

题组二：变形应用

变形应用是相对要求较高的，其关键在于题目中的条件需要转化，同时通过对已知进行变形拼凑后方能发现基本不等式使用的条件.对此一方面要仔细观察题目，发现其中基本不等式的影子；二要结合基本不等式的结构和成立条件进行拼凑转化.

题型三：知识交汇

将基本不等式和其它知识进行交汇，以综合题目的形式出现时，通常先要借助其它知识将已知条件进行显化，同时再将目标进行变形，构造使用基本不等式的条件.

四、一点思考

基本不等式说到底是一种特殊情形，只不过这一特殊情形出现频率较高.对此我们一方面要明确基本不等式的来龙去脉，另一方面清楚其常见模型.但是必须要说的是，对于这一方法不要过于追求，原因在于利用导数也可以求最值，要注意二者的互补性.

最后，总结起来可以说：

基本不等式，结构有特点.

条件记心间，用时必检验.

识别与转化，变形明方向；

特殊到一般，灵魂是函数.

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【经典回顾】

【第134期】同步复习篇——基本不等式

【第228期】一轮复习篇——基本不等式  

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