我们定义:有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”.
(1)已知:如图1,四边形ABCD是“等对角四边形”,∠A≠∠C,∠A=70°,∠B=80°.求∠C,∠D的度数.
(2)在探究“等对角四边形”性质时:
①小红画了一个“等对角四边形”ABCD(如图2),其中∠ABC=∠ADC,AB=AD,此时她发现CB=CD成立.请你证明此结论;
②由此小红猜想:“对于任意‘等对角四边形’,当一组邻边相等时,另一组邻边也相等”.你认为她的猜想正确吗?若正确,请证明;若不正确,请举出反例.
(3)已知:在“等对角四边形”ABCD中,∠DAB=60°,∠ABC=90°,AB=5,AD=4.求对角线AC的长.
考点分析:
四边形综合题.
题干分析:
(1)根据四边形ABCD是“等对角四边形”得出∠D=∠B=80°,根据多边形内角和定理求出∠C即可;
(2)①连接BD,根据等边对等角得出∠ABD=∠ADB,求出∠CBD=∠CDB,根据等腰三角形的判定得出即可;
②先画出反例图形,即可得出答案;
(3)分两种情况:①当∠ADC=∠ABC=90°时,延长AD,BC相交于点E,先用含30°角的直角三角形的性质求出AE,得出DE,再用三角函数求出CD,由勾股定理求出AC;
②当∠BCD=∠DAB=60°时,过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥BC于点N,则∠AMD=90°,四边形BNDM是矩形,先求出AM、DM,再由矩形的性质得出DN=BM=3,BN=DM=,求出CN、BC,根据勾股定理求出AC即可
解题反思:
本题是四边形综合题目,考查了新定义、四边形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、矩形的判定与性质等知识;本题难度较大,综合性强,特别是(3)中,需要进行分类讨论,通过作辅助线运用三角函数和勾股定理才能得出结果。
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