如图,有一块分别均匀的等腰三角形蛋糕(AB=AC且AB≠BC),在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力,小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分(要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样).
这条分割直线既平分了三角形的面积,又平分了三角形的周长,我们称这条直线为三角形的“等分积周线”.
(1)小明很快就想到了一条经过点A分割直线,请你用尺规作图在图1中画出这条“等分积周线(不写画法).
(2)小华觉得小明的方法很好,所以自己模仿着在图2中过点C画了一条直线CD交AB于点D.你觉得小华会成功吗?请说明理由.
(3)若AB=BC=5,BC=6,请你通过计算,在图3中找出△ABC不经过顶点的一条“等分积周线”.
考点分析:
三角形综合题.
题干分析:
(1)作线段BC的中垂线即可.
(2)小华不会成功.如图2所示.假设直线CD平分△ABC的面积,过点C作CE⊥AB于点E,再证明AD+AC≠BD+BC即可.
(3)如图3所示,设直线EF与AB、BC分别交于点E、F,直线EF符合条件,作EG⊥BC于点G,AH⊥BC于点H,得BH=CH=3,AH=4,S△ABC=12,设BF=x,则BE=1/2(AB+AC+BC)﹣BF=8﹣x,由△BEG∽△BAH,得EG/AH=BE/AB,求出EG,利用面积列出方程即可解决问题.
解题反思:
本题看成三角形综合题、尺规作图、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意,学会构建方程解决问题,学会添加常用辅助线构造相似三角形,属于中考压轴题.
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