【中考数学课堂】第295课

如图，抛物线y=ax2﹣3/2x﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；

∴OA=1，OC=2，OB=4，

即：OC2=OA·OB，

又∵OC⊥AB，

∴△OAC∽△OCB，

∴∠OCA=∠OBC；

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，

∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；

∴该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为（1.5，0）．

（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；

设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：

x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；

∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=4；

∴直线l：y=x﹣4．

由于S△MBC=BC×h，

当h最大（即点M到直线BC的距离最远）时，

△ABC的面积最大

所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，

考点分析：

二次函数综合题．

题干分析：

（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．

（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．

（3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．

解题反思：

考查了二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的相关性质以及三角形的面积公式是理出思路的关键．