一题5解，每一种都考验功底，没有实力千别纠结！

正△ABC外一点D，∠ADC=90°，BE⊥CD于点E，AD=1，DE=2

，则BE=________

方法一：构全等

在DE的中点F，连接AF、BF，作BG⊥AF于点G，易知DF=

，AF=2，得∠DAF=60°，而∠BAC=60°得∠BAG=∠CAD，AB=AC，∠BGA=∠ADC得△ABG≌△ACD，AG=AD=1，得DF=1，同时BF=AB，而AB=BC得BF=BC，故△BEF≌△BEC，得EC=EF=

，由此得CD=3

，AC=2

，故BE=5

点评：此法中规中矩，是多数同学比较容易理解的解法.

方法二：一线三角构全等

过点B作BH⊥AD交延长线于点H，在AD延长上分别取点F、G，使∠AFC=∠AGB=60°，而∠BAG+∠ABG=120°，∠BAG+∠CAF=120°得∠CAF=∠ABG，又AB=AC，得△ABG≌△CAF，设DF=m,则BG=AF=1+m,而BH=DE=2

，BH=

BG，即有

(1+m)=2

,得m=3，由此可得GH=2，AG=CF=6，故AH=4，所以BE=DH=5

点评：此法比较考验同学们的学习功底，没有一定的积累此法肯定很难想.此法与此文中的一线三角有异曲同工之处，请同学们参考：正方形中的正三角形，不满足于一种方法利于扩展思路！

方法三：共圆秒解

引△ABC的外接圆交DE于点M，连接AM、BM，易知∠AMB=∠BME=∠BAC=60°，AD=1得DM=

，得ME=

，得BE=5

点评：数学老师都大呼：我天，无情.此法属于秒解，在真正的实力面前，这题就是小弟弟.

方法四：构全等

取DE的中点E，连接AG，过点C作CF⊥AG于点F，易知AG=2，∠DAG=60°，故∠FCG=60°，于是∠ACF=∠BCE，又CA=CB，∠F=∠AFC得△BCE≌△ACF，设CF=x，则CE=x，CG=2x，而EG=

，即有x=

，于是GF=3，AF=5，即有BE=5

点评：此法与上面常规解法有想通之处，不过相对简洁很多.

方法五：共圆+梯形中位线

作CN⊥AB于点N，易知A、D、C、N共圆，B、C、E、N共圆，于是∠EDN=∠NED=60°，连接NE，易知△DEN为等边三角形，作NG⊥DE，得NG=3，N为AB的中点，G为DE的中点，即NG为梯形ABED的中位线，故BE=5

点评：此法用两次共圆和梯形中位线性质解决问题，也是相当不错的一种解法.

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