繁琐到答案都不想看，突破点很明显，但多数同学处理不了

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC上有一点E，连接BE，过点A作BE的垂线，交BC延长线于点F，交BE延长线于点D，

∠CAF+∠CBE=45°，过点F作FH⟂AH于点H，∠FAH=∠FAC，若BE=3DE，FH=12，则AE的长为___________

解：步骤一：处理条件

∠CAF+∠CBE=45°

由∠ABC=45知∠CBE+∠ABD=45，得∠ABD=

∠CAF，半角(倍角)关系，联想构造等腰三角形：在BD上取一点G，使BG=AG，设∠ABG=ɑ，则∠AGD=2ɑ，而∠CAF=∠FAH=2ɑ，

步骤二：易知△ADE~△GDA，得AD²=DG∙DE，设DE=m，则BG=3m，GE=x，则BG=3m-x，AD²=m(m+x)，而由勾股定理可得AD²=(3m-x)²-(m+x)²，于是m(m+x)=(3m-x)²-(m+x)²，得x=

，于是AD=

，tan2ɑ=

,于是可得AH=16，AF=20；

步骤三：同时在△ABD中易知tanɑ=

(或由12345原理可知)，于是tan∠DBF=

，DF=2m，得AF=

=20得m=6，于是AE=10

方法二：补成正方形

分别取点D关于AB、BF的对称点N、M，由方法一分析知，设∠ABD=ɑ，则∠FAH=2ɑ，∠BAD=∠BAN=90°-ɑ，此时∠BAN+∠BAD+∠FAH=180°，即N、A、H共线，同理导角易知M、F、H共线，故BMHN为正方形；设DE=m,则BE=3m，则BD=4m，MF=4m-12,延长ED交AH于点I，于是DI=m，NI=3m，在BNI中，tan2ɑ=

于是可得AH=16，AF=20；

同时在△ABD中易知tanɑ=

(或由12345原理可知)，于是tan∠DBF=

，即有4m-12=2m，得m=6，于是AD=10

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