加权线段最值压轴，构造方法似乎不难，但多数同学做不出来！

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如图，△ABC是等边三角形，△BDE是顶角为120°的等腰三角形，BD=DE,连接CD、AE

(1)如图1，连接AD，若∠ABE=60°，AB=BE=

，求CD的长；

(2)如图2，若点F是AE的中点，连接CF、DF，求证：CD=2DF；

(3)如图3，在(2)的条件下，若AB=2

，BD=2，将△BDE绕点B旋转，点H是△AFC内部的一点，当DF最大时，请直接写出的(2HA+HF+

HC)²最小值.

解：(1)作CG⊥BD于点G，易知CG=

，BG=

，故CD=

(2)方法一：延长DF至点M，使FM=FD，连接AM、CM，易知△FDE≌△FMA，故AM=DE，∠MAF=∠DEF；而DE=BD得AM=BD；而∠CBD+∠ABE=270°，∠BAE+∠BEA+∠ABE=180°，得∠CAM=∠CAB+∠BAE+∠FAM=60°+∠BAE+∠BEA+30°=90°+∠BAE+∠BEA=90°+180°-∠ABE=270°-∠ABE，即有∠CAM+∠ABE=270°，故∠CAM=CBD，又CA=CB，故△CAM△CBD，得CM=CD，∠ACM=∠BCD，而∠ACM+∠MCB=60°得∠BCD+∠MCB=60°得∠MCD=60°，故△MCD为等边三角形，故DM=CD，即有CD=2DF

方法二：延长ED至点N，使DN=DE，连接BN、AN，易知BDN为等边三角形，同时BD=BN，BC=BA，∠ABN=∠CBD，故△ABN≌△CBD，得CD=AN，而F、D分别为AE、NE的中点，故AN=2DF，即有CD=2DF

方法二：延长ED至点N，使DN=DE，连接BN、AN，易知BDN为等边三角形，同时BD=BN，BC=BA，∠ABN=∠CBD，故△ABN△CBD，得CD=AN，而F、D分别为AE、NE的中点，故AN=2DF，即有CD=2DF

(3)易知当点C、B、D共线时，CD取最大值，此时DF取最大值；如图所示，此时CD=2+2

，DF=

+1，CF=3+

，将△FCH逆时针旋转90°同时按比例缩小为1/2得△CTS，此时HS=

CH，ST=

HF，2HA+HF+HC=2(AH+

CH+

HF)=2(AH+HS+ST),当A、H、S、T共线时取最小值，此时(2HA+HF+HC)²=3²

点评：题目的第二问考查经典的几何模型构造，方法一相对难一点，在于角度相等的证明有困难；而方法二只要画出图，则一目了解;题目的压轴一问难点在于带系数的线段的构造，一般是旋转某角度构造，这个角度的选取一般是特殊角如90°、60°、45°、30°、120°、150°等，旋转之后的线段关系也要学会推导.

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