加权线段最值问题，初做有难度，但两次过后明显变简单了！

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在△ABC中，AB⊥BC,∠C=45°,点E是BC边上的一点(不含端点)，F是AC上一点，将线段AB绕点B顺时旋转ɑ得到线段BD，连接CD

(1) 如图1，已知ɑ=135°，连接DE、EF,若D、E、F三点共线，DF⊥BC，垂足为E,且CF=2

，

,求CD的长；

(2) 如图2，将△ABC沿着AC翻折得△MAC，若E、N分别为BC、MC的中点，连接AN、ME交AN、AC于点P、F，连接CP，若∠BCD=∠BAP，求证：

CP+2PM=2CD

(3) 如图3，已知ɑ=150°，AB=2，连接DC、DE,G为射线DE上一点，连接GC、GB，将线段BC沿着CG翻折得到CB′，若点B′落在DE的延长线上，当DG取最大值时，连接GA，P是△ABG内部一动点，请直接写出

的最小值

解：(1)设BE=m，则AB=m+2，

得m=5或-7(舍)，DE=5，故CD=

(2) 作BG⊥CD，CH⊥EM于点H，由BD=BC知CD=2CG，∠BCD=∠BAP，∠BAP=∠MNP=∠MCH，即∠MCH=∠BCG，故△MCH≌△BCG，CH=CG，同时△APM≌△MHC，MP=CH，MP=CH；而tan∠MCH=2,MH=2CH，故PH=CH，即有PC=

CH，故CD-PM=CD-CG=CH=

PC，故

CP+2PM=2CD

(3) 如图，由CB=CD=CB,知∠1=∠2=∠3，故点C、D、B、G四点共圆，圆心为O，当D、O、G共线时，DG可取最大值；此时E为BC的中点，∠4=30°；

如图，将△ABP绕点A顺时针旋转90°，同时缩小为原来的一半，即△AIJ，此时PI=

PA，IJ=

PB,PG+

PB+

PA=PG+PI+IJ，当点G、P、I、J共线时可取最小值，AJ=1，AN=1，EG=

，GN=2-

，故GJ²=

点评：题目第二问以全等为考点，辅助线并不难想；而题目仍以加权线段最值问题为压轴，难度是有的，不过小编目前分享过好几道类似的题目了，同学们应该有一点感觉了.

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