11种方法解决一道几何经典

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如图，在等腰△ABC中AB=AC，延长边AB于点D，延长边CA至点E，连接DE，若AD=BC=CE=DE，求证:∠BAC=100°

解：方法一：过点C、D分别作BD、BC的平行线交于点F，连接EF，易知BDCF为平行四边形，DF=BC，BD=CF；设∠ACB=α，则∠DAE=∠ACF=2；AD=CE，AB=AC得AE=BD，故AE=CF，故△ADE≌△EFC，故EF=DE，故△DEF为等边三角形，即有60°+3α=180°得α=40°，故∠BAC=100°

方法二：作BF||DE，EF||BD于点F，连接CF，易知BDEF为平行四边形，AD=CE，AB=AC得AE=BD，同时BD=EF，故EF=AE；同时∠CEF=∠DAE=2α，故△ADE≌△ECF，CF=DE，故△BCF为等边三角形，180°-4α+α=60°,α=40°,故∠BAC=100°

方法三：作平行四边形CEDF，连接BF，DE=EC知DECF为菱形，易得△ADE≌△DFB，得BF=AD，而CF=DE，CB=DE得△BCF为等边三角形，180°-4α+α=60°,α=40°,故∠BAC=100°

方法四：作平行四边形BCEF，连接DF、BF，BF=EC，而EC=DE，故DE=BF，∠DBF=∠DAE=2；又EC=AD，AB=AC，得AE=BD,故△ADE≌△BFD，DF=AD，故△DEF为等边三角形，180°-4α+α=60°,α=40°,故∠BAC=100°

方法五：作△DEF,使EF=ED，且∠DEF=∠ADE，易知△ADE≌△FED，DF=AE，而CE=AD，AB=AC得AE=BD，故DF=BD，易知∠BDF=2α-(180°-4α)=6α-180°,∠DBF=180°-3α，由此可得∠CBF=2α，同时∠BCF=180°-4α=∠DEF，故△DFE≌△BFC，得CF=EF，故△CEF为等边三角形，180°-4α+α=60°,α=40°,故∠BAC=100°

方法六：作△ACF，使CF=AC且∠ACF=∠BAC，连接FB并延长交DE于点G，易知AC||BF，而∠DAE=∠DEA，∠DAE+∠BAC=180°，故∠DEA+∠ACF=180°，故GE||CF，故ECFG为平行四边形，于是GF=EC，而EC=AD，故GF=AD；同时∠DGF=∠DEA，又∠DGF=∠EAD，故△ADE≌△GFD，得DF=AD，故△ADF为等边三角形，180°-4α+α=60°,α=40°,故∠BAC=100°

方法七：作△CED的平分线交AB于点F，交BC于点G,连接CF，故△EFC≌△EFD；△CFE≌△CFB，于是EF=BF，而CB=DE，故△EFD≌△BFC，故∠D=∠BCF=

α，故可得α=40°，故∠BAC=100°

方法八:取△DEC的平分线交BC于点F，易知△EFC≌△EFD，△CAB≌△CFE，得CF=CA，得BF=AE，同时∠EAG=∠BFG=4ɑ，知△AGE≌△FGB,得BF=AE；而AD=CE，AB=AC得AE=BD,故BD=BF，∠FDF=ɑ，故∠ADE=ɑ，故ɑ=20°，故∠BAC=100°

方法9：作等腰△AEF，使AF=AE，且∠EAF=∠BAC，连接FB、FC，BE，易知△AEB≌△AFC，BE=CF；易知β=90°-

α-α=90°-

α，∠BED=2α-(90°-

α)=

α-90°,∠BCF=α-β=α-(90°-

α)=

α-90°,即有∠BED=∠BCF，故△BDE≌△FBC，∠CBF=∠D，BD=BF，而BD=AE，故BF=AE=AF，∠CBF=∠BAF=D=180°-4α，故2(180°-4α)=α,得α=40°，故∠BAC=100°

方法10：作等腰△DEF，使DF=DE，∠FDE=∠C=α，连接FA、FD，可知△DEF≌△CBE，EF=BE；由CE=AD，AB=AC得BD=AE；而∠AEF=∠DBE，故△AEF≌△DBE，AF=AD，故△ADF为等边三角形，于是可得α=40°，故∠BAC=100°

方法十一：在BC上取点F使BF=BD，以AF为边作等腰△AFG且使∠FAG=∠BAC，连接GC，易知△ABF≌△ACG，BF=CG；而AD=CE，AB=AC，BE=AE，故CG=AE；∠BCG=∠E=4α，BC=DE，故△BCG≌△DEA，于是∠CBG=∠ADE，BG=AD；易知CF=CA，于是∠AFC=90°-2α，可得∠BAF=180°-(90°-α)-4α=90°-3α，而∠BGA=90°+α-4α，故∠AGB=∠DAF，故△ABG≌△FAD，故∠ABG=∠ADF=α，于是∠CBG=α，∠DAE=α，故α=20°，故∠BAC=100°

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点评：此题的基本原理并不复杂，但辅助线的方法较多，每一种辅助线表示一种思路，每一种思路都是对条件的处理方式，特别值得同学们深入研究与思考.

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