二次函数中的线段与线段最值问题，对称与瓜豆原理，常规但非常典型！

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(澄海区九年级一模)如图，二次函数

的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,3),直线l经过B、C两点

(1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；

(2)如图1，点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当MN=2PM时，求点P的坐标；

(3)如图2，点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，求出DQ的长

(1)

(2)设M(m,-m²+2m+3)，则MN=2(m-1),而BC：y=-x+3,P(m,-m+3)，PM=-m²+3m,MN=2PM，则有m²-2m-1=0得m=

，由此可得

(3)AQ：PQ=3：1，P在线段BC上运动，故点Q亦在某线段上运动；由瓜豆原理知点Q所在直线为MN：y=-x+2; 同时3PA+4DQ=4(PA+DQ)=4(

AQ+DQ),(将军饮马)，取点A关于MN的对称点A′(2,3)，A′Q=AQ，故AQ+DQ=A′Q+DQ，当A′、Q、D共线时，取最小值，此时直线A′D：y=3x-3,与MN：y=-x+2联立得Q(

),此时DQ=

点评：整道题难度递进，第二问考查坐标系中的线段长度表达，考查了一次函数解析式、点的坐标表达；而压轴一问则考查了瓜豆原理，转化为“将军饮马”问题，而坐标系中的对称点也是考查之一,对同学们的要求是全方面的.