（一）《周髀算经》之《序》
夫高而大者，莫大于天；厚而广者，莫广于地。体恢洪而廓落，形修广而幽清，可以玄象课其进退，然而宏远不可指掌也。可以晷仪验其长短，然其巨阔不可度量也。虽穷神知化不能极其妙，探赜索隐不能尽其微，是以诡异之说出，则两端之理生，遂有浑天、盖天，兼而并之。故能弥纶天地之道，有以见天地之赜，则浑天有灵宪之文，盖天有周之法，累代存之，官司是掌，所以钦若昊天，恭授民时。爽以暗蔽，才学浅昧，隣高山之仰止，慕景行之轨辙，负薪馀日，聊观《周髀》。其旨约而远，其言曲而中，将恐废替，濡滞不通，使谈天者无所取则，辄依经为图，诚冀颓毁重仞之墙，披露堂室之奥，庶博物君子，时逈思焉。
（二）《周髀算经》之《卷上》
1.卷上:昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度。请问数安从出？”
2.卷上:商高曰：“数之法，出于圆方。圆出于方，方出于矩。矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之外，半其一矩。环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”
（商高说：数学方法，都是来源于园和方的关系，我们所处的地球是园的，我们的整个天体的运行都是在做圆周运动，那么天体任何时间所处的位置都可以用距离，高差，斜距来表示，斜距又等于两直角边的平方之和开方求得。圆周长也可以通过线段采用求极值的方式用来表示。举个例子吧，一个四边形，画一条对角线，成为了两个直角三角形，在直角三角形中的一条边长等于3，另一条边等于4，则斜边长就等于5。用公式表示就是直角边长分别为a和b，斜边长为c，就有c的2次方=a的2次方 b的2次方。用图形表示如下图。，大禹治水正是用的这个这个原理，就是确定一个水平面，根据这根水平面确定两点之间的高差的方法。当然现代我们测量两点之间的高差，采用的是同样的方法。）
3.卷上:古人勾股定理的普适证明图：
4、卷上:周公曰：“大哉言数！请问用矩之道？”
5、卷上:商高曰：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。方属地，圆属天，天圆地方。方数为典，以方出圆。笠以写天。天青黑，地黄赤。天数之为笠也，青黑为表，丹黄为里，以象天地之位。是故知地者智，知天者圣。智出于句，句出于矩。夫矩之于数，其裁制万物，唯所为耳。”周公曰：“善哉！”
6、卷上:昔者荣方问于陈子，曰：“今者窃闻夫子之道。知日之高大，光之所照，一日所行，远近之数，人所望见，四极之穷，列星之宿，天地之广袤，夫子之道皆能知之。其信有之乎？”陈子曰：“然。”荣方曰：“方虽不省，愿夫子幸而说之。今若方者可教此道邪？”陈子曰：“然。此皆算术之所及。子之于算，足以知此矣。若诚累思之。”
7、卷上:于是荣方归而思之，数日不能得。复见陈子曰：“方思之不能得，敢请问之。”陈子曰：“思之未熟。此亦望远起高之术，而子不能得，则子之于数，未能通类。是智有所不及，而神有所穷。夫道术，言约而用愽者，智类之明。问一类而以万事达者，谓之知道。今子所学，算数之术，是用智矣，而尚有所难，是子之智类单。夫道术所以难通者，既学矣，患其不博。既博矣，患其不习。既习矣，患其不能知。故同术相学，同事相观。此列士之愚智，贤不肖之所分。是故能类以合类，此贤者业精习智之质也。夫学同业而不能入神者，此不肖无智而业不能精习。是故算不能精习，吾岂以道隐子哉？固复熟思之。”
8、卷上:荣方复归，思之，数日不能得。复见陈子曰：“方思之以精熟矣。智有所不及，而神有所穷，知不能得。愿终请说之。”陈子曰：“复坐，吾语汝。”于是荣方复坐而请。陈子说之曰：“夏至南万六千里，冬至南十三万五千里，日中立竿测影。此一者天道之数。周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也。正晷者，句也。正南千里，句一尺五寸。正北千里，句一尺七寸。日益表南，晷日益长。候句六尺，即取竹，空径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩日，而日应空之孔。由此观之，率八十寸而得径一寸。故以句为首，以髀为股。从髀至日下六万里，而髀无影。从此以上至日，则八万里。若求邪至日者，以日下为句，日高为股。句、股各自乘，并而开方除之，得邪至日，从髀所旁至日所十万里。以率率之，八十里得径一里。十万里得径千二百五十里。故曰，日晷径千二百五十里。”
（我们是在周地建立观测站，周地在什么地方呢？是在北半球冬至日正中午太阳到达的极限位置。从周地算起，夏至之日假定水平向南16000里，冬至之日假定水平向南135000里，日中（正中午）时立竿测影，由于太阳在正上方，立竿的影子垂直于假定的水平面，与立竿重合。这就是太阳运行轨道的规律。那么怎么知道这个规律的呢？使用的是一种测量方法，称为周髀，具体做法是精制一根8尺长的测杆，在周地观测站垂直于水平地面直立，夏至之日的正中午，可以观测到立竿在水平地面的影子长度是1.6尺，立竿就是一个直角三角形的直立边，称为股。立竿的影子的长度构成了直角三角形的另一条边，为勾。假设我们在水平面把这根立竿向正南方向移动1000里，这时立竿水平面的影子应该是1尺5寸。假设我们在水平面把这根立竿向正北方向移动1000里，这时立竿在假定水平面的影子应该是1尺7寸。这就是说太阳越往南，我们在周地测得的立竿的影子越长。按照这个比例关系，也就是说我们立竿影子的1寸，相当于实际尺寸的1000里，1尺相当于10000里。这是一个测量的原理，这样告诉您，您能理解吗？实际操作不可能是这样的，您想一想地球是一个球体，1000里的距离就不是一个水平面了，而是一个曲面了，因此实际求解这个比例关系是在地面上在短距离的范围内，把地面假定成一个平面，采用下图所示方法求得。
根据相似三角形原理
H1/L1=H2/G1，H1/L=H2/G2
L2在地面作为基线边可以精确丈量，G1、G2为晷影长度，H1=H-H2，L=L1 L2。两式求解可以求出：
H1=【L2/（G2-G1）】*H2，H1/H2=L2/（G2-G1）
此式表明从测杆顶至太阳的距离H1与H2的比值等于两个测点之间的距离与两点测杆晷影之差的比值。这个公式证明太阳影像所处的高度就是距离地面80000里，这个数据就是根据太阳晷影长度在平面的变化规律测算出来的。同样采用8尺测杆观看太阳晷影长度正好是6尺的时候测点至太阳的斜距，太阳至测点平面的垂直距离，测点至太阳的垂线与平面交点的距离就构成了一个直角三角形，他们的尺寸关系就是斜距长100000里，高差为80000里，平面距离为60000里。这个就是太阳影像（焦点）与地平面的关系。这是客观存在。
有了上述的原理，那么在周地就可以等候一个时间，那就是当太阳在地面影子长度刚好是6尺时，我们用一根空心的管子，这个管子的内经为1寸，长度为8尺，对着太阳从管子的一端观看太阳，这时太阳和管子的内径刚好重合。通过这样的观测，太阳与管子的直径的比例关系是80:1。我们就可以计算出太阳的直径。什么原理呢？这跟我们选择的这个时间有关系，我们选择的这个时间，立竿8尺，影子长6尺，那么立竿顶点至地面影子的斜长构成一个直角三角形，那么这个直角三角形的斜长就是10尺(1丈），根据前面介绍的原理，立竿高8尺，说明太阳的高度距我们决定的水平地面为80000里，立竿的影子长6尺，说明太阳距测站的水平距离为60000里，我们就知道此时观测点至太阳的距离为100000里，根据比例关系我们就可以求得太阳的直径为100000除以80等于1250里（这是太阳在大气层内影像的直径，与太阳的实际距离和直径之比值成正比例关系，因此其方法计算太阳的视直径是正确的数值）。当然这是为了便于您理解而选择的时间，其实任何时间在观测站我们都可以通过比例关系测出太阳的直径，只是数据计算比较复杂，因此我们的观测站往往就是利用这么一些比较极限的时间点来观测，因此对星球的规律容易找到。）
9.卷上:日高图
法曰：“周髀长八尺，句之损益寸千里。故曰：极者，天广袤也。今立表高八尺以望极，其句一丈三寸。由此观之，则从周北十万三千里而至极下。”
（数学法典里面说到“8尺长的立竿，太阳影子的长短变化1寸，实际距离变化就是1000里。根据这个比例关系，北极星是天最远的地方，通过长期观测地球北极正对北极星是不变化的。现在通过8尺高的立竿观望北极星，人的眼睛所处位置就相当于北极的光线投影到地球大气层天球上的水平距离，这个投影距离是1丈3寸，因此从周地观测站到北极星的水平距离就是103000里。而北极星是在地球的南北极轴上，因此以地球北极点为圆心，那么周地在这个平面上的水平距离也就是103000里。这在后面的周地投影到大气层天球上的位置示意图可以看到。）
11.卷上:荣方曰：“周髀者何？”
陈子曰：“古时天子治周，此数望之从周，故曰周髀。髀者，表也。日夏至南万六千里，日冬至南十三万五千里，日中无影。以此观之，从南至夏至之日中十一万九千里。北至其夜半亦然。凡径二十三万八千里。此夏至日道之径也，其周七十一万四千里。从夏至之日中，至冬至之日中十一万九千里。北至极下亦然。则从极南至冬至之日中二十三万八千里。从极北至其夜半亦然。凡径四十七万六千里。此冬至日道径也，其周百四十二万八千里。从春秋分之日中北至极下十七万八千五百里。从极下北至其夜半亦然。凡径三十五万七千里，周一百七万一千里。故曰：月之道常缘宿，日道亦与宿正。南至夏至之日中，北至冬至之夜半，南至冬至之日中，北至夏至之夜半，亦径三十五万七千里，周一百七万一千里。
（荣方问道“这个周髀到底是什么呢？”
陈子说：古时候天子治理国家，需要创建周天历法，因此通过观测天地的运行规律来制定历法，所以周是指周地，是冬至日太阳照射的极限位置，髀则是立竿测影的方法，通过在周地观测站获得天文数据的方法统称为周髀。
夏至日从周地往南16000里，冬至日从周地往南135000里，中午太阳直射假定的平面而无影，从这个观测数据看，从北极向南到太阳的距离就等于103000加上16000等于119000里。地球在绕太阳运动，从地球上看相当于太阳围绕地球在旋转（实际是地球的自转），也可以认为是在围着地球的极轴在旋转，因此其直径就是238000里，这就是夏至日的日道，圆周率取整数为3，则周长为714000里。太阳南北运动的距离就等于冬至日与夏至日距周地的距离的差值，即135000减去16000等于119000里。那么冬至日太阳到北极的距离就是119000加上119000等于238000里，为半径，同理冬至日的日道直径就是476000里，周长是1428000里。从春秋分之日中北至极下距离就是119000除以2加上119000等于178500里，为半径，同理春秋分之日日道直径就是357000里，周长是1071000里。参考下图
以地球北极为圆心绘制的日道图如下图。
）
12.卷上:“春分之日夜分以至秋分之日夜分，极下常有日光。秋分之日夜分以至春分之日夜分，极下常无日光。故春秋分之日夜分之时，日所照适至极，阴阳之分等也。冬至、夏至者，日道发敛之所生也至，昼夜长短之所极。春秋分者，阴阳之修，昼夜之象。昼者阳，夜者阴。春分以至秋分，昼之象。秋分至春分，夜之象。故春秋分之日中光之所照北极下，夜半日光之所照亦南至极。此日夜分之时也。故曰：日照四旁各十六万七千里。
13、卷上:“人望所见，远近宜如日光所照。从周所望见北过极六万四千里，南过冬至之日三万二千里。夏至之日中，光南过冬至之日中光四万八千里，南过人所望见一万六千里，北过周十五万一千里，北过极四万八千里。冬至之夜半日光南不至人所见七千里，不至极下七万一千里。夏至之日中与夜半日光九万六千里过极相接。冬至之日中与夜半日光不相及十四万二千里，不至极下七万一千里。
夏至之日正东西望，直周东西日下至周五万九千五百九十八里半。冬至之日正东西方不见日。以算求之，日下至周二十一万四千五百五十七里半。凡此数者，日道之发敛。冬至、夏至，观律之数，听钟之音。冬至昼，夏至夜。差数及，日光所还观之，四极径八十一万里，周二百四十三万里。
（春分之日昼夜之交以至秋分之日昼夜之交，太阳处于北半球，北极极下常有日光。秋分之日昼夜之交以至春分之日昼夜之交，太阳处于南半球，北极极下常无日光。故春秋分之日昼夜之交之时，日所照射恰至南极北极下，这是阴阳相等，昼夜时间相等。地球围绕太阳旋转，由于赤道面与黄道面有一个夹角，因此在地球上我们观看到的是太阳一年中是在南北运动，实际是地球在移动，因此冬至、夏至日，是地球南北移动的极限位置，由于地球在大气层中南北移动，造成了大气层厚度的变化，太阳照射在北半球，地球在大气层中是向南移动，地球化气北面大气层变厚，焦点内移，日道收敛变短。冬至日，太阳照射在南半球，地球化气南面大气层变厚，地球北面北半球大气层变薄，太阳焦点外移，日道发散变长。如图所示。因此夏至日北半球白天最长，黑夜最短，冬至日则相反。春秋分之日，阴阳相等，白日昼夜相等。春分以至秋分，北半球显现的是昼之象，白天长夜晚短。秋分至春分，北半球显现的是夜之象，白天短夜晚长。所以春秋分日日中太阳光能够照至地球的北极点，春秋分日夜半时日光也能够照至地球的南极点。这是日和夜相等的时日。所以说：日光照耀之所及，向四面八方各达167000里。
人的目光远望所及，其远近应该与太阳光照所及相同。这样从周地北望，能够超越北极星之外延伸64000里，也就是说目光所及最远处是103000加上64000等于167000里。从周地向南看目光所及能够超越日道所在位置32000里，目光所及最远处是238000加上32000等于270000里。夏至日的日中，向南太阳光超过冬至日道48000里，超出人的目光可见的地方16000里，那么目光所及最远处是238000加上48000等于286000减去16000等于270000里。向北超过周地151000里，超过北极星就是151000减去103000等于48000里。冬至日的夜半，日光向南达不到人所见7000里，也就是说日光所照距离为270000减去7000等于263000里。向北达不到北极点71000里。夏至日日中与夏至日夜半太阳光超过地球北极点96000里相衔接接，因此北极就有半年日光不落。冬至日日中与冬至日夜半太阳光有142000里照不到，距离极下71000里，因此北极就有半年日光照不到。
夏至之日从周地正东西方向看去，西边日落之处距离周地59598.5里。冬至之日正东西方看不见太阳。通过计算，太阳落下的地方距离周地有214557.5里。如下图。上述这些数据，是因为太阳照射地球的角度变化导致大气层的当阳面膨胀，背阴面收敛造成的。通过冬至到夏至，一年地气变化规律的数据，地气变化的时间的长短的详细的记录。根据冬至夏至昼夜轨道的变化规律。加上太阳光照极限的观测。我们可以得到大气层的最大直径为810000里，周长2430000里。这个数据是这样计算的，冬至日太阳轨道距地球为238000里，这是太阳焦点距地球的距离，根据春秋分日的日道处于大气层边缘到地球中心距离相等计算，太阳焦点距大气层边缘的距离为178500里，但是由于冬至日太阳光照射不到地球的北极点，相差还有11500里，从图中可以看出这是由于地球的偏移造成的，因此太阳焦点到大气层边缘的距离就是178500减去11500等于167000里，那么大气层边缘到地球旋转轴的距离就是238000加上167000等于405000里，这是半径，直径就是810000里。这是一个大气层外包线的极限值。）
14.卷上:“从周至南日照处三十万二千里，周北至日照处五十万八千里，东西各三十九万一千六百八十三里半。周在天中南十万三千里，故东西矩中径二万六千六百三十二里有奇。周北五十万八千里。冬至日十三万五千里。冬至日道径四十七万六千里，周一百四十二万八千里。日光四极当周东西各三十九万一千六百八十三里有奇。”
（周地的位置投影到天球上，以北极为中心，在平面上表示如下图
周地投影到大气层天球上的位置示意图（单位：万里）
从周地向南至日照极限处为405000减去周地至北极的距离103000等于302000里，向北至日照极限处则为405000加上103000等于508000里。向东、向西至日照极限处各为405000的平方减去103000的平方再开方约等于391683.5里。周地在大气层中心偏南一侧103000里的地方，所以从周地向东、西方向看要比大气层直径少26632里稍多一点。从图中可以知道这个数据是405000减去391683.5等于13316.5乘以2约等于26633里。）
15、卷上:此方圆之法。
16、卷上:万物周事而圆方用焉，大匠造制而规矩设焉，或毁方而为圆，或破圆而为方。方中为圆者谓之圆方，圆中为方者谓之方圆也。
（这些都是采用方圆之法获得的天文数据，万事万物的规律都可以通过圆方、方圆之法得到解决。大匠们创立了制度和规则，通过园内画方或者是方内画圆的方法，把大气层中的时间和空间的关系转化为数理关系。这就是大师们的智慧。
如下图，在圆形地球上观测外空任意一点，只能把地面看成一个平面，因此是一个假想的平面，这就是画一个内接圆（地方指的就是假定平面）。天空中的观测点就只能看作是圆弧上的点通过画方形的关系求出园的半径或者直径。地面与空中就可以通过建立三角形的关系确定相互关系。太空中的点都是在做圆周运动。
）
17、卷上:七衡图
18、卷上:凡为此图，以丈为尺，以尺为寸，以寸为分，分一千里。凡用缯方八尺一寸。今用缯方四尺五分，分为二千里。
（绘制天空观测图（七衡六间图），采用每分代表1000里的比例关系，那么就要用一幅8.1尺（每尺代表一万里，81万里）见方的帛，现在采用4.05尺见方的帛，则图幅的比例关系为每分代表2000里，每尺代表2万里，81万里）
19、卷上:吕氏曰：“凡四海之内，东西二万八千里，南北二万六千里。”
（地球直径东西方向28000里，采用测璇玑的方法得出，北极星不动，在地球的赤道建立观测站可观测出地球的赤道直径。南北方向26000里，采用实测，在南北建立观测站利用春分，秋分太阳的晷影和夏至晷影的关系推求。）
20、卷上:凡为日月运行之圆周，七衡周而六间，以当六月节。六月为百八十二日、八分日之五。故日夏至在东井极内衡，日冬至在牵牛极外衡也。衡复更终冬至。故曰：一岁三百六十五日、四分日之一，一岁一内极，一外极。三十日、十六分日之七，月一外极，一内极。是故衡之间万九千八百三十三里、三分里之一，即为百步。欲知次衡径，倍而增内衡之径。二之以增内衡径。次衡放此。
（绘制代表日月运行轨道的圆周，7层同心圆中间有6个间隔。代表半年六个月的节点，半年为182（5/8）日。故夏至日太阳在东井之宿，处于七衡图的最内圈。冬至太阳在牵牛之宿，在七衡图的最外圈。一年365（1/4）日，太阳从最内圈到最外圈，然后回到最内圈。为一年。而30（7/16）日中，月球从最内圈到最外圈，然后回到最内圈为一个月的时间。由于衡与衡之间间隔为19833（1/3）里，1里等于300步，三分之一里为100步。那么相邻衡的直径用衡之间的间隔为：19833（1/3）里*2 加在内衡直径上即可求得）
21、卷上:内一衡径二十三万八千里，周七十一万四千里。分为三百六十五度、四分度之一，度得一千九百五十四里二百四十七步、千四百六十一分步之九百三十三。
（内衡直径238000里，周长714000里。虽然实际运动是地球围绕太阳旋转，但是人类站在地球上，看到的景象是由于地球自转造成的现象，根据相对运动原理，我们看到太阳影像围绕地球在旋转，但在大气层这个球体内我们也是可以看作在这个直径的圆上太阳的焦点（影像）绕地球一年所走过的距离，按地球一年自转365（1/4）圈来除，得这一年的影像绕地球运行的距离为1954里247（933/1461）步（一天的弧长）。）
22、卷上:次二衡径二十七万七千六百六十六里二百步，周八十三万三千里。分里为度，度得二千二百八十里百八十八步、千四百六十一分步之千三百三十二。
（第二衡直径为277666里又200步，周长833000里。实际运动地球围绕太阳旋转，人站在地球上，看到的景象是地球自转造成的现象，根据相对运动的原理，看到太阳影像围绕着地球在旋转，但在大气层这个球体内我们也是可以看作在这个直径的圆上太阳的焦点（影像）绕地球一年所走过的距离，按地球一年自转365（1/4）圈来除，得这一天的太阳影像绕地球运行的距离为2280里188（1332/1461）步（一天的弧长）。）
23、卷上:次三衡径三十一万七千三百三十三里一百步，周九十五万二千里。分为度，度得二千六百六里百三十步、千四百六十一分步之二百七十。
（同上，第三衡直径为317333里又100步，周长952000里。这一天太阳影像绕地球运行的距离为2606里130（270/1461）步（一天的弧长）。）
24、卷上:次四衡径三十五万七千里，周一百七万一千里。分为度，度得二千九百三十二里七十一步、千四百一十分步之六百六十九。
（第四衡直径为357000里，周长1071000里。这一天太阳影像绕地球运行的距离为2932里71（669/1461）步（一天的弧长）。）
25、卷上:次五衡径三十九万六千六百六十六里二百步，周一百一十九万里。分为度，度得三千二百五十八里十二步、千四百六十一分步之千六十八。
（第五衡直径为396666里又200步，周长119000里。这一天太阳影像绕地球运行的距离为3258里12（1068/1461）步（一天的弧长））
26、卷上:次六衡径四十三万六千三百三十三里一百步，周一百三十万九千里。分为度，度得三千五百八十三里二百五十四步、千四百六十一分步之六。
（第六衡直径为436333里又100步，周长139000里。这一天太阳影像绕地球运行的距离为3583里254（6/1461）步（一天的弧长））
27、卷上:次七衡径四十七万六千里，周一百四十二万八千里。分为度，得三千九百九里一百九十五步、千四百六十一分步之四百五。
（第七衡直径为470000里，周长1428000里。这一天太阳影像绕地球运行的距离为3909里195（405/1461）步（一天的弧长））
28、卷上:其次，日冬至所北照，过北衡十六万七千里。为径八十一万里，周二百四十三万里。分为三百六十五度四分度之一，度得六千六百五十二里二百九十三步、千四百六十一分步之三百二十七。过此而往者，未之或知。或知者，或疑其可知，或疑其难知。此言上圣不学而知之。故冬至日晷丈三尺五寸，夏至日晷尺六寸。冬至日晷长，夏至日晷短。日晷损益，寸差千里。故冬至、夏至之日，南北游十一万九千里，四极径八十一万里，周二百四十三万里。分为度，度得六千六百五十二里二百九十三步、千四百六十一分步之三百二十七。此度之相去也。
29、卷上:其南北游，日六百五十一里一百八十二步、一千四百六十一分步之七百九十八。
30、卷上:术曰：置十一万九千里为实，以半岁一百八十二日、八分日之五为法，而通之，得九十五万二千，为实。所得一千四百六十一为法，除之。实如法得一里。不满法者，三之，如法得百步。不满法者，十之，如法得十步。不满法者，十之，如法得一步。不满法者，以法命之。
（冬至这天太阳轨道加上太阳向外辐射长度167000里，得到大气层直径810000里，周长2430000里。得每天在这个圆上行走的距离为6652里293（327/1461）步。
冬至日太阳影子1丈3尺5寸，夏至日太阳影子1尺6寸。影子1寸相当于距离1000里。因此从冬至日到夏至日，虽然是地球绕太阳旋转了一圈，而我们在投影图上看到的就是太阳南北移动了119000里，大气层直径810000里，周长2430000里，这个距离除365（1/4）圈，得这一天行走的距离为6652里293（327/1461）步。这就是一天对应大气层边缘天的距离（一天的弧长）。
这个数值换算成太阳南北运动的直线运动距离相当于651里182（798/1461）步。该数用太阳半年时间从南到北距离是119000里，用这个数除以时间天数182（5/8）天。得除式（952000/1461），其商的整数部分为651里，余数为（889/1461），这个数分子乘以3，化为百步（2667/1461）。商的整数部分即为百步数1，余数部分（1206/1461）乘以10化为步得（12060/1461），商的整数部分为10步数8，余数部分（372/1461）再乘以10化为步得除式（3720/1461），此式商的整数部分为步数2，余数直径用分子式（798/1461）表示，这就是古人300进位制的表示方法。该进位方式可以把所有小数通过分数来表示，用通用公式可以写作ABC,DEF的一个小数。用分数表示，可以写成A乘以X的平分加上B乘以X的平分加上C乘以X的三次方加上D乘以（1/x）加上E乘以（1/x的平分）加上F乘以（1/x的三次方）等等，X不能等于0或1。这样可以消除小数由于位数不够带来的误差。
）
三：《周髀算经》之《卷下》
1、卷下:凡日月运行，四极之道。极下者，其地高人所居六万里，滂沱四隤而下。天之中央，亦高四旁六万里。故日光外所照径八十一万里，周二百四十三万里。故日运行处极北，北方日中，南方夜半。日在极东，东方日中，西方夜半。日在极南，南方日中，北方夜半。日在极西，西方日中，东方夜半。凡此四方者，天地四极四和，昼夜易处，加四时相及。然其阴阳所终，冬至所极，皆若一也。
2、卷下:天象盖笠，地法覆盘。天离地八万里，冬至之日虽在外衡，常出极下地上二万里。故日兆月，月光乃出，故成明月。星辰乃得行列。是故秋分以往到冬至，三光之精微，以成其道远。此天地阴阳之性自然也。
（大气层和地球是两个相套的球体，太阳影像所在的层面与地球表面相距80000里，冬至日太阳在最南面，在外衡圆圈上，其光线被地球遮挡而北极地面照不到太阳，但是在高出北极地面20000里的高空还是有光线通过（极光）。因此在北极圈附近还是可以看到月光，其原理是由于月球在地球的赤道附近运行，太阳在高空照射在月球上形成反射光波，可以照射到北极附近。其它行星的光线也是这个原理。因此秋分之后到冬至日这段时间，在北半球，太阳，月亮、星星的光线都是比较微弱，是因为距离远的缘故。这个就是天地阴阳的自然规律而已。）
3、卷下:欲知北极枢，璇周四极。常以夏至夜半时北极南游所极，冬至夜半时北游所极，冬至日加酉之时西游所极，日加卯之时东游所极。此北极璇玑四游。正北极璇玑之中，正北天之中。正极之所游，冬至日加酉之时，立八尺表，以绳系表颠，希望北极中大星，引绳致地而识之。又到旦，明日加卯之时，复引绳希望之，首及绳致地而识其端，相去二尺三寸。故东西极二万三千里，其两端相去正东西。中折之以指表，正南北。加此时者，皆以漏揆度之。此东、西、南、北之时。其绳致地所识，去表丈三寸，故天之中去周十万三千里。何以知其南北极之时？以冬至夜半北游所极也北过天中万一千五百里，以夏至南游所极不及天中万一千五百里。此皆以绳系表颠而希望之，北极至地所识丈一尺四寸半，故去周十二万四千五百里，过天中万一千五百里；其南极至地所识九尺一寸半，故去周九万一千五百里，其南不及天中万一千五百里。此璇玑四极南北过不及之法，东、西、南、北之正勾。
（那么要想测得冬至日北半球照射不到太阳的圆圈的直径，或者说是找到这个圆圈上的四个极点采用的是如下方法。我们观测站的位置就是在冬至日光照射的极限位置上，而不是在北极点的极限点上，我们看到的北极星也是绕北极原点在作圆周运动（站在北极点上观测北极星是不动的），这是相对运动原理，实际是北极星不动，是我们在地球上的观测点在作圆周运动。观测方法是，以夏至夜半时北极星南游所到达的极限点通过立竿在地面的投影点（眼睛、立竿顶、北极星三点一线）做一个标记，到了冬至日这一天的夜半时分北极星向北所到达的极限点通过立竿在地面的投影点做一个标记，冬至日加酉之时（下午6点）北极星向西所到达的极限点通过立竿在地面的投影点做一个标记，冬至日加卯之时（早晨6点）北极星向东所到达的极限点通过立竿在地面的投影点做一个标记。这个就是北极星旋转在东西南北四个方向的四个极限点。这四个点东西两点相连，南北两点相连的交点与立竿顶点的连线的延长线正对的天空就是正北天的正中。这是一种观测方法，因这种方法需要跨度半年时间。实际地球自转是一个标准的圆周运动，冬至日加酉之时（下午6点），立八尺的立竿，用绳线系竿顶，还是三点一线的方法向北极中大星（北极星），引绳在地上端点得到一个位置点。第二天早晨6点钟，同样的方法得到一个位置点。这两点相距二尺三寸。因此东西北极星经过的两点相距23000里.取东西方向这两点的正中间。根据东西方向这条线的中点画垂直线，这就是正南北方向，同样的距离也可以得到两个点。时间记录采用的是漏水计刻度的方法。也就是北极星所处东、西、南、北四方极点的时间。观测如下图：
上述观测方法的基本原理是这样的，前面的方法已经测量出北极星四极游的圆圈的中心点，这个点距立竿的水平距离是1丈零3寸，所以天的中心北极星到周地观测站的距离就是103000里。怎么知道南游和北游的极限的时间呢？是以以冬至日夜半（12点）北极星北游能够到达的极限位置也是北过天中11500里，所以夏至日南游不能够到达的极限位置也是不到天中11500里。这都是采用绳系立竿顶而三点一线的观测方法而得，北极星北游之极限位置时绳在地上的标记距表（立竿中心）1丈1尺4寸半，故去周地的距离是114500里，超过天中11500里；北极星南游之极限位置时绳在地上的标记距表（立竿中心）9尺1寸半，所以去周地的距离是91500里，南游的极限位置不到天中11500里。这就是璇玑四个极限位置的南北方向超过或者的不及的观测方法，取的都是东、西、南、北正方向。观测如下图：
）
4、卷下:周去极十万三千里。日去人十六万七千里。夏至去周一万六千里。夏至日道径二十三万八千里，周七十一万四千里。春、秋分日道径三十五万七千里，周一百七万一千里。冬至日道径四十七万六千里，周一百四十二万八千里。日光四极八十一万里，周二百四十三万里。从周南三十万二千里。
5、卷下:璇玑径二万三千里，周六万九千里。此阳绝阴彰，故不生万物。其术曰，立正勾定之。以日始出，立表而识其晷。日入，复识其晷。晷之两端相直者，正东西也。中折之指表者，正南北也。极下不生万物。何以知之？冬至之日去夏至十一万九千里，万物尽死；夏至之日去北极十一万九千里，是以知极下不生万物。北极左右，夏有不释之冰。
（上述方法测出的是此处地球的直径，也就是冬至日日光所照极限点地球（北极星不动，地球在旋转）的直径23000里，周长69000里，在此往北的范围内。太阳完全不能照射，完全是黑夜，因此万物不生。
采用的是实测法，确定了东西南北方向，每天都是采用立竿定标的方法，观测日出日落的时间，观测日光影子的长短方向，详细记录，太阳升起的地方为正东方，太阳落下的地方为正西方。东西两点连线中点的垂直线就是正南北方向。怎么知道南北极下不生万物？冬至日和夏至日太阳在南北方向相距119000里，冬天在周地观测站我们就看到，冰天雪地，万物都处于收藏的状态，万物都死了。到了夏至日太阳与地球的北极的距离也是119000里，所以也就知道地球北极极下不生万物。当然知道了地球北极附近，即便是夏天，冰也是不化的，同理也就知道地球南极也是一个道理（通过测量日道的距离，判断出南北极常年冰雪不化）。）
6、卷下:春分、秋分，日在中衡。春分以往日益北，五万九千五百里而夏至。秋分以往日益南，五万九千五百里而冬至。中衡去周七万五千五百里。中衡左右冬有不死之草，夏长之类。
7、卷下:此阳彰阴微，故万物不死，五谷一岁再熟。
8、卷下:凡北极之左右，物有朝生暮获。
（同理春分、秋分，太阳在赤道附近运行。春分日之后太阳逐渐北移59500里到夏至日。秋分日之后太阳逐渐南移59500里到冬至日。中衡日道到周地的距离是75500里。这样我们就知道赤道附近，冬天植物也不休眠，还是处于生长状态。
这样我们也就明白了太阳是地球万物生长的能量之源。有了太阳的能量供应，万物处于生长状态，赤道附近五谷也能够一年两熟。）
9、卷下:立二十八宿，以周天历度之法。
10、卷下:术曰：倍正南方，以正勾定之。即平地径二十一步，周六十三步。令其平矩以水正，则位径一百二十一尺七寸五分。因而三之，为三百六十五尺、四分尺之一，以应周天三百六十五度、四分度之一。审定分之，无令有纤微。分度以定，则正督经纬。而四分之一，合各九十一度十六分度之五。于是圆定而正。则立表正南北之中央，以绳系颠，希望牵牛中央星之中。则复望须女之星先至者。如复以表绳希望须女先至，定中。即以一游仪希望牵牛中央星，出中正表西几何度。各如游仪所至之尺，为度数。游在于八尺之上，故知牵牛八度。其次星放此，以尽二十八宿度，则之矣。
（观测太空二十八宿星象的时空位置和观测行星的运行规律，就是制定周天历法的基础。
确定南北方向，修整一块大的平地，形成一块直径21步，周长63步的圆形，使用水平仪调平。精确的画一个直径为121尺7寸5分的一个圆圈，那么这个圆圈的周长就是365（1/4）尺。精确划分度数，不留误差，确定圆周和刻度之后，再按正东西南北方向把圆弧4等分，每一等分对应弧长91尺（5/16）分。建立这么一个圆圈后，在圆圈中心树立8尺测杆，以正南北方向为起始刻度，在测杆顶点系上测绳，观测牵牛座中央星的中心部位，在地上记录下一个标记。再观测须女星座最先出现的一颗星。再用系着测绳的立竿采用三点一线的方法观测须女星座最先出现的一颗星的中心部位，在地上记录下另一个标记，这个标记就确定为正西方向。然后采用一个可以运动的仪器把地面牵牛星的这个标识点，通过从圆圈的中心立竿处与标识点的连线延伸到画有刻度的圆弧上，这样就可以知道牵牛星处于我们确定的这个圆盘的与正西方向的偏移的刻度就是所观测的牵牛星的度数。比如牵牛星标识的延长线处于圆弧的8尺的地方，那么就把牵牛星确定为8度了。采用同样的方法就可以把星空中的二十八宿星的位置在我们的地面圆盘上都标识出来了。这就是星象图的来源。
古人非常清楚九星在黄道面围绕太阳运动（九星旋朗），测量使用的是地平坐标系，计算是把地平坐标系的原点移动到地球的极轴。得到如下赤道坐标系，方法见周地投影到大气层天球上的位置示意图。所有计算采用的就是赤道坐标系。古人建立这个观测站是数据非常精密的“术曰：倍正南方，以正勾定之。即平地径二十一步，周六十三步。令其平矩以水正，则位径一百二十一尺七寸五分。因而三之，为三百六十五尺、四分尺之一，以应周天三百六十五度、四分度之一。审定分之，无令有纤微。”
十二次与二十八星象图
）
11、卷下:立周度者，各以其所先至游仪度上。车辐引绳，就中央之正以为毂，则正矣。日所以入，亦以周定之。欲知日之出入，即以三百六十五度、四分度之一而各置二十八宿。以东井夜半中，牵牛之初临子之中。东井出中正表西三十度十六分度之七，而临未之中，牵牛初亦当临丑之中，于是天与地税，乃以置周二十八宿。置以定，乃复置周度之中央立正表。以冬至、夏至之日，以望日始出也，立一游仪于度上，以望中央表之晷。晷参正，则日所出之宿度。日入放此。
（推求历法就是使用这个星象图，通过观测站的连续不断的观测，建立各星球在这个圆盘上的不同时间、不同空间的观测数据，进行数学推算即可建立出准确的历法。
太阳的运行规律也是通过这个方法得到。在地面上的这个刻度盘内每天记录太阳日出、日落的位置，就可以发现太阳每天都发生位置的南北移动。
要知道太阳的运动规律，我们还是在地面上的圆周365（1/4）度划分二十八宿，假如冬井之宿于夜半时分（南方的午位）在中天，则牵牛之宿将是北方的子位中天。冬井之宿的距星在正南北方偏西30（7/16）度，假如此宿对应十二次中的未，则牵牛之宿对应丑，这样就达到了天与地的和谐对应。把太阳与二十八宿的位置一一设置，设置完成后再树立中央测杆。在冬至日、夏至日太阳升起的时刻，在圆周上放上游仪，令此游仪与中央测杆和太阳所投射的影子在一条直线上，则这时游仪则标示了太阳升起时的方位度数。太阳落下时也采用同样的方式。）
12、卷下:牵牛去北极百一十五度千六百九十五里二十一步、千四百六十一分步之八百一十九。
（这样测得牵牛之宿（冬至日）距北极的夹角115度又1695里又21（819/1461）步。）
13、卷下:术曰：置外衡去北极枢二十三万八千里，除璇玑万一千五百里。其不除者二十二万六千五百里以为实。以内衡一度数千九百五十四里二百四十七步、千四百六十一分步之九百三十三以为法。实如法得一度。不满法，求里、步。约之合三百得一以为实。以千四百六十一分为法，得一里。不满法者三之，如法得百步。不满法者又上十之，如法得一步。不满法者，以法命之。次放此。
分子为整数里，分母为里、步表示，并且还有分数表示的余数，计算中统一把里乘以300化为步，整数为度，然后又以度为单位的分数化为以里，步表示整数和分数。
14、卷下:娄与角去北极九十一度六百一十里二百六十四步、千四百六十一分步之千二百九十六。
15、卷下:术曰：置中衡去北极枢十七万八千五百里以为实。以内衡一度数为法。实如法得一度。不满法者，求里、步。不满法者，以法命之。
（中衡距北极轴的距离为178500里，距离正好等于从地心观看的日道（内衡日道）太阳影像与地球南北轴的夹角对应的弧长（2*3*11.9/4=178500里）在，再除以内衡圆周1度所对应的弧长1954里又247（933/1461）步，所除的商整数部分为度数，余数部分化为里和步。太阳在中衡时，阳光刚好照射到南极和北极）
16、卷下:东井去北极六十六度千四百八十一里一百五十五步、千四百六十一分步之千二百四十五。
17、卷下:术曰：置内衡去北极枢十一万九千里，加璇玑万一千五百里，得十三万五百里以为实。
18、卷下:以内衡一度数为法。实如法得一度。不满法者求里、步。不满者，以法命之。
19、卷下:凡八节二十四气，气损益九寸九分、六分分之一。冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸。问次节损益寸数长短各几何？
20、卷下:冬至晷长一丈三尺五寸，小寒丈二尺五寸，大寒丈一尺五寸一分，立春丈五寸二分，雨水九尺五寸二分，启蛰八尺五寸四分，春分七尺五寸五分，清明六尺五寸五分，谷雨五尺五寸六分，立夏四尺五寸七分，小满三尺五寸八分，芒种二尺五寸九分，夏至一尺六寸，小暑二尺五寸九分，大暑二尺五寸八分，立秋四尺五寸七分，处暑五尺五寸六分，白露六尺五寸五分，秋分七尺五寸五分，寒露八尺五寸四分，霜降九尺五寸三分，立冬丈五寸二分，小雪丈一尺五寸一分，大雪丈二尺五寸。
21、卷下:凡为八节二十四气，气损益九寸九分、六分分之一。冬至、夏至为损益之始。
（总共八节二十四气，每气减去或者增加9寸9（1/6）分长的光影长度，冬至夏至为增减之始）
22、卷下:术曰：置冬至晷，以夏至晷减之，馀为实。以十二为法。实如法得一寸。不满法者，十之，以法除之，得一分。不满法者，以法命之。月后天十三度、十九分度之七。
（冬至日影子长度是13.5尺减去夏至日影子1.6尺等于11.9尺，除以12，整数为9寸，分数还余11，乘以10除以12等于9分，还余2除以12，就是1/6）
23、卷下:术曰：置章月二百三十五，以章岁十九除之，加日行一度，得十三度、十分九度之七。此月一日行之数，即后天之度及分。
24、卷下:小岁月不及故舍三百五十四度、万七千八百六十分度之六千六百一十二。
25、卷下:术曰：置小岁三百五十四日、九百四十分日之三百四十八，以月后天十三度、十九分度之七乘之，为实。又以度分母乘日分母为法。实如法，得积后天四千七百三十七度、万七千八百六十分度之六千六百一十三。以周天三百六十五度、万七千八百六十分度之四千四百六十五除之。其不足除者，此月不及故舍之分度数。他皆放此。
26、卷下:大岁月不及故舍十八度、万七千八百六十分度之万一千六百二十八。
27、卷下:术曰：置大岁三百八十三日、九百四十分日之八百四十七。以月后天十三度、十九分度之七乘之为实。又以度分母乘日分母为法。实如法得积后天五千一百三十二度、万七千八百六十分度之二千六百九十八。以周天除之。其不足除者，此月不及故舍之分度数。
28、卷下:经岁月不及故舍百三十四度、万七千八百六十分度之万一百里。
29、卷下:术曰：置经岁三百六十五日、九百四十分日之二百三十五，以月后天十三度十九分度之七乘之为实。又以度分母乘日分母为法。实如法，得积后天四千八百八十二度、万七千八百六十分度之万四千五百七十。以周天除之。其不足除者，此月不及故舍之分度数。
30、卷下:小月不及故舍二十二度、万七千八百六十分度之七千七百三十五。
31、卷下:术曰：置小月二十九日，以月后天十三度、十九分度之七乘之为实。又以度分母乘日分母为法。实如法得积后天三百八十七度、万七千八百六十分度之万二千二百二十。以周天分除之。其不足除者，此月不及故舍之分度数。大月不及故舍三十五度、万七千八百六十分度之万四千三百三十五。
32、卷下:术曰：置大月三十日，以月后天十三度、十九分度之七乘之为实。又以度分母乘日分母为法。实如法得积后天四百一度、万七千八百六十分度之九百四十。以周天除之。其不足除者，此月不及故舍之分度数。
33、卷下:经月不及故舍二十九度、万七千八百六十分度之九千四百八十一。
34、卷下:术曰：置经月二十九日、九百四十分日之四百九十九，以月后天十三度、十九分度之七乘之为实。又以度分母乘日分母为法。实如法得积后天三百九十四度、万七千八百六十分度之万三千九百四十六。以周天除之。其不足除者，此月不及故舍之分度数。
35、卷下:冬至昼极短，日出辰而入申。阳照三，不覆九。东西相当正南方。夏至昼极长，日出寅而入戌。阳照九，不覆三。东西相当正北方。
（冬至日白天最短，太阳在辰位出而在申位入。也就是说冬至日太阳照射到的方位只有3个，有9个方位不能覆盖，太阳东西连线在最南方。夏至日白天最长，太阳在寅位出而在戍位入。也就是说夏至日太阳能照射到的方位有9个，有3个方位不能覆盖，太阳东西连线在最北方。）
36、卷下:日出左而入右，南北行。
37、卷下:故冬至从坎，阳在子，日出巽而入坤，见日光少，故曰寒。夏至从离，阴在午，日出艮而入乾，见日光多，故曰暑。日月失度而寒暑相奸。往者诎，来者信也，故屈信相感。故冬至之后日右行，夏至之后日左行。左者往，右者来。故月与日合为一月，日复日为一日，日复星为一岁。外衡冬至，内衡夏至，六气复返，皆谓中气。
（假如人面南背北站立，太阳从左边出而从右边入。看起来太阳是在南北方向移动。所以冬至日对应的是坎位，阳气在子位，太阳出于巽位而入于坤位，北方大地上见到的阳光很少，所以北方寒冷。夏至日对应的是离位，阳气在午位，太阳出于艮位而入于乾位，北方大地上见到的阳光多，所以北方暑热。日月运行的位置如果处于不同的相位，就会产生不同的气候变化，甚至是一些极端恶劣的气候出现。月球围绕地球运行，而太阳在地球的南北方向移动。太阳和月球就在这样的运动中不断的相遇又分离，就发生了阴阳的感应。所以冬至之后太阳右行，夏至之后太阳左行，右行为来，左行为往，一来一往，所以太阳和月亮就形成了朔和望的变化。因此太阳与月球的一朔一望的变化就称为一月（月球绕地球一圈），太阳的东升西落（地球自转一圈）就称为一日。地球绕太阳一圈称为一年。外衡对应冬至，内衡对应夏至，其间六气循环，皆称之为中气。）
38、卷下:阴阳之数，日月之法。十九岁为一章。四章为一蔀，七十六岁。二十蔀为一遂，遂千五百二十岁。三遂为一首，首四千五百六十岁。七首为一极，极三万一千九百二十岁。生数皆终，万物复始。天以更元，作纪历。
（注：古人把太阳燃烧的时间，阴阳变化的规律，地球人类文明轮回的原理放在《周髀算经》中来讲述，其实是非常有深意的，因为生命的轮回这个概念在其它的古文明资料中也曾经反复出现，由于我们的科学技术水平达不到古人的境界，今生阶段的人类还是很难理解。《周髀算经》中的数理推导是十分严密的，这段话古人是采用数理的方法来解释，当我们能够理解了《周髀算经》的科学原理，理解了阴阳的科学原理之后，我们也就没有任何理由怀疑地球人类文明是分阶段的这个客观事实。）
39、卷下:何以知天三百六十五度、四分度之一，而日行一度？而月后天十三度、十九分度之七。二十九日、九百四十分日之四百九十九为一月，十二月、十九分月之七为一岁。周天除之。其不足除者，如合朔。古者包牺、神农制作为历，度元之始，见三光未如其则。日、月、列星，未有分度。日主昼，月主夜，昼夜为一日。日月俱起建星。月度疾，日度迟。日、月相逐于二十九日、三十日间，而日行天二十九度馀，未有定分。于是三百六十五日南极影长，明日反短。以岁终日影反长，故知之三百六十五日者三，三百六十六日者一。故知一岁三百六十五日、四分日之一，岁终也。月积后天十三周，又与百三十四度馀，无虑后天十三度、十九分度之七，未有定。于是日行天七十六周，月行天千一十六周，及合于建星。置月行后天之数，以日后天之数除之，得一十三度、十九分度之七，则月一日行天之度。复置七十六岁之积月，以七十六岁除之，得十二月、十九分月之七，则一岁之月。
40、卷下:置周天度数，以十二月、十九分月之七除之，得二十九日、九百四十分日之四百九十九，则一月日之数。
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