《变限积分函数及其应用》内容小结与题型解析

一、变限积分函数及其性质

(1)设函数f(x)在[a,b]上可积，则

在[a,b]上连续.

(2)设函数f(x)在[a,b]上连续，则变限积分可导：

【注1】由(*)定义的函数是[a,b]上连续的函数f(x)的一个原函数. 即闭区间上连续的函数一定存在有原函数.

【注2】对于变限积分求导的类型，求导题型及相应的的方法可以点击本文左下角“阅读原文”浏览视频解析，第3题的第2个视频免费完整浏览.

二、微积分基本公式

设f(x)在[a,b]上连续，F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则

【注1】以上的结论不仅给出了连续函数必然存在原函数的结论，而且揭示了积分学中定积分与原函数之间的联系. 由此可知初等函数在定义域的任何区间上都存在原函数.

【注2】大部分初等函数的原函数都不是初等函数，对于原函数不是初等函数的函数，我们称它们的不定积分“积不出来”，常称之为“不可积函数”.

【注3】对于包含绝对值的函数、非初等函数描述形式描述的函数、分段函数，一般要写出初等函数的描述形式，借助积分的可加性分区间分别积分再求和，或者借助定积分的性质或计算性质简化、转换积分计算.

参考课件节选：