《导数、微分与最优化》内容总结、题型、典型题与参考课件

一、导数和微分的定义、求法及应用

二、函数的极值与最优化应用

(1)最值

【闭区间上的连续函数最值定理】：如果f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么f(x)在[a,b]上必取到最小值和最大值.

(2)极值，局部最值

设函数f(x)在点x₀的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于x₀的点x，恒有

f(x)>f(x₀)，

那么就称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值，x₀称为函数f(x)的极小值点；如果恒有

f(x)<f(x₀)，

那么就称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值，x₀称为函数f(x)的极大值点.

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点.

【注1】依据定义，最值可以在端点取到，极值只能在区间内部取到.

【注2】极值是一个局部概念，最值是一个全局概念.极大值未必是最大值，极小值也未必是最小值.

(3)闭区间上连续函数极值存在的可能位置

费马引理：设函数f(x)在点x₀处可导，且在x₀的邻域内，恒有f(x)≤f(x₀)（或f(x)≥f(x₀)），那么f’ (x₀)=0.

【注1】可微函数的极值点是导数等于0的点，函数描述的曲线在极值点处具有水平切线. 但导数等于0的点不一定是极值点.

【注2】闭区间上连续函数极值存在的可能位置：

●驻点(也称为稳定点、临界点)，即函数导数等于零的点；

●不可导点.

(4)闭区间上连续函数最值的计算步骤

①求出闭区间内的所有驻点和不可导点:

②求函数在所有驻点、不可导点及区间端点的函数值；

③比较各点函数值的大小, 最大者为所求最大值, 最小者为所求最小值.

【注】最值点不唯一.

三、相关注意事项

(1) 会用导数定义判定函数的可导性和求函数的导数，尤其是对于指定点、分段函数的分界点、抽象函数的可导性和导数的存在性的验证与导数的计算；或者题目中没有指明可导，但是需要用到导数的结论时，一般首先考虑的是导数的定义方法。

(2) 注意导数的定义式的描述形式：导数记号写在极限式的右边，表示验证可导性和计算导数；导数记号在极限式的左侧，即先导数再写极限式，则表示导数的存在，借助导数值来计算极限问题。

(3) 关于复合函数求导，尤其是抽象复合函数或参数方程求导公式的过程中，记住一个总的原则是借助链式法则，“先关于表达式中的变量本身求导，再关于最终求导变量求导”；这样就基本上不会漏项！

(4) 对于幂指函数（底数、指数都为函数的函数），或者由多项相乘、相除构成的函数求导数时，一般借助于复合函数求导的链式法则，转换为自然常数为底的对数求导数；或者直接对两端取自然常数为底的对数，然后借助隐函数求导的方法计算原来函数的导数。

(5) 函数的可微性的验证与微分的计算直接可以转换为可导性的验证与导数的计算，记得微分的dx不能漏掉，但是如果已知dx为具体数值，则结果为数，不包含dx.

(6) 不定积分的结果任意常数C不能漏掉，一次不定积分一个C，两次不定积分两个相互独立的C.

(7) 原函数是连续可导的函数.

参考课件节选

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