《弧微分与曲率》内容小结、题型、典型题与参考课件

一、弧微分

弧微分ds：对弧长的近似描述. 等价于切线长度，也等价于割线长度. 即图中的三条线的长度在△x→0时，有

从而在与极限相关的计算中，弧长可以近似为切线的长度，或者割线的长度.

 

弧微分几何意义：弧微分ds等于自变量x的改变量△x相对应的切线的长.

●当曲线由可微函数y=f(x)描述时，则(x,f(x))到(x+△x,f(x+△x))(△x>0)之间的弧长△s近似为弧微分ds，有

●当曲线由参数方程x=x(t), y=y(t)描述时， 

●当曲线由极坐标方程ρ=ρ(ϴ)描述时，则有 

二、曲率

曲率是刻划曲线的弯曲程度的一个量，很好地反映了曲线的弯曲程度.

平均曲率：曲线弧上切线转角大小与对应弧长的比值.

曲率：平均曲率的极限：

●圆的曲率为圆的半径的倒数

●直线的曲率等于0.

三、曲率圆

曲线上某点处的曲率圆与曲线，描述曲率圆的方程与描述曲线的函数的关系：

●曲率圆经过该点(函数值相同)；

●曲率圆位于曲线凹向的一侧(凹凸性相同)；

●曲率圆的圆心(曲率中心)在曲线该点处的法线上；

●圆的半径(曲率半径)为曲线在该点处曲率的倒数(具有相同的曲率)；

●曲率圆与曲线具有共同的切线(一阶导数值相同)；

●由上可推知二阶导数值相同.

四、曲率圆方程求解步骤

第一步：设曲率圆方程

(x-ξ)²+(y-η)²=R².

第二步：借助隐函数求导方法对曲率圆方程两端求关于变量x的一阶、二阶导数(y为x的函数y(x)).

第三步：对由曲率圆方程、一阶、二阶导数等式构成的方程组，代入函数y=f(x)在给定点的变量x的取值，函数f(x)、f’(x)、f’’(x)，解关于圆心坐标ξ，η和半径R的三元方程，得到圆心坐标和半径取值.

【注】提倡使用以上方法计算曲率圆，如果记得公式，也可以直接由如下公式计算曲率中心坐标(ξ,η)和曲率圆半径R.

参考课件节选