视频解析：无条件极值判定的必要条件和两个充分条件及典型题解析

相关知识点

1、可微函数取极值的必要条件

定理 设元函数在点处对各个自变量的一阶偏导数都存在，且在点处取极值，则有

(1) 点称为函数的驻点或稳定点，所以具有一阶偏导数的元函数，其极值点必定是驻点．

(2) 假设函数在处可微，为的驻点，如果在的任何邻域内既存在函数值大于的点，也存在函数值小于的点，即不为极值点，则称为函数的鞍点。

(3) 可微函数在极值点处有水平切平面，且切平面方程为.

2、可微函数取极值的黑塞矩阵充分条件

定理 设元函数在点处具有二阶连续偏导数，且. 记为在点处的黑塞矩阵．

(1) 如果正定，则为的极小值点；

(2) 如果负定，则为的极大值点；

(3) 如果不定，则为的鞍点；

(4) 其他情况需要另行判定(半正定，半负定)．

【注】对于矩阵正定性的判定有一个行列式的判定方法，也称为霍尔维茨(Hurwitz)定理。

定理（Hurwitz定理）(1) 实对称矩阵为正定的充分必要条件是的各阶顺序主子式( 个)都为正，即

(2) 实对称矩阵为负定的充分必要条件是的奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正，即

【注】顺序主子式即行列式左上角元素构成的方阵. 如果顺序主子式非负，或非正，则为半正定，或半负定. 只要有一个偶数阶顺序主子式小于0，则矩阵为不定矩阵.

3、可微函数取极值的全微分充分条件

二阶全微分：以二元函数为例，二元函数的全微分为

其中与无关，则视为 的函数，再求微分，其结果称为的二阶微分，记作

极值存在的全微分充分条件：设元函数在点处具有二阶连续偏导数，且

(1) 若，则函数在处取到极大值；

(2) 若，则函数在处取到极小值.

【注】其他情况不能确定是否取到极值. 其中的变量各分量的增量可正可负，但不同时取为0.

视频解析

例题及参考解答

例 求函数

的极大值、极小值和鞍点．

【参考解答】：令梯度等于0，得驻点坐标为,,，并且有

在处：

不能直接判断是否取到极值，所以考虑定义法.

取，则

在充分小的邻域内始终有；

取时，

在充分小的去心邻域内始终有，所以由极值的定义，不为极值点，即为鞍点.

在处：

所以函数在处取极小值，且极小值为.

在处也有，所以函数也取极小值，且极小值为

【注】如果考虑全微分方法，则对于,点，都有

所以函数取到极小值. 而对于点，则有

因此是否取到极值不确定，所以考虑定义法判定.

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