函数同构问题
关于同构式下的“亲戚函数”
同构式下两条主线
1．顺反同构：顺即为平移拉伸后的同构函数，反即为乘除导致的凹凸反转同构函数.
2．同位同构：
①加减同构是指在同构的过程中“加减配凑”，从而完成同构；
②局部同构是指在同构过程中，我们可以将函数的某两个或者多个部分构造出同构式，再构造同构体系中的亲戚函数即可；
③差一同构是指指对跨阶以及指数幂和对数真数差1，我们往往可考虑用同构秒杀之.
关于的亲戚函数
如图1：根据求导后可知：在区间，在区间，．
图1 图2 图3 图4
考点1 平移和拉伸得到的同构函数
如图2：，即将向右平移1个单位，再将纵坐标扩大为原来的倍，故可得在区间，在区间，当时，．
如图3：，即将向右平移2个单位，再将纵坐标扩大为原来的倍，故可得在区间，在区间，当时，．
如图4：，即将向左平移1个单位，再将纵坐标缩小为原来的倍，故可得在区间，在区间，当时，．
考点2 乘除导致凹凸反转同构函数
图5 图6 图7 图8
如图5：，即将关于原点对称后得到，故可得在区间，在区间，当时，．
如图6：，即将关于原点对称后，向右移一个单位，再将纵坐标缩小倍，得到，故可得在区间，在区间，当时，．
如图7：，属于分式函数，将关于原点对称后得到，故可得在区间，在区间，当时，．
如图8：，属于分式函数，将关于原点对称后，左移一个单位，再将纵坐标缩小倍，故可得在区间，在区间，当时，．
考点3 顺反同构函数
图9 图10 图11 图12
如图9：，当，即，当，即，．
如图10：，实现了凹凸反转，原来最小值反转后变成了最大值，当，即，当，即，．
如图11：，当，即，当，即，．
如图12：，当，即，当，即，．
通过以下例题来感受其中奥妙吧
1.对于任意的不等式
解：由题意知，,, ,
故只需,即，∴.
2.设，若存在正实数，使得不等式.≥0恒成立，
则的最大值为 ．
解： ≥0 => => => ,即.
3.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是 ．
解：，=，
4.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为 ．
解：，，.
5.设实数，若对任意的，若不等式恒成立，则的最大值为 ．
解：，解得
6.对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值 ．
解：由题意得，即，.
7.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 ．
解：由题意得：，右边凑1，
得，得.（说明：定义域大于零，所以，成立）.
8.对，不等式恒成立，则实数的最小值为 ．
解：由题意得，，，∴.
9.已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数的最小值是 ．
解：，∴，∴,≥-e.
10.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
解：由题意可知：,∴,∴只需，∴.
11.已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是 ．
A． B． C． D．
解：，∴，∴.
12.对任意的，恒有，求实数的最小值 ．
解：由题意得：，即，
得.
13.若关于的方程只有一个实数解，则的取值范围是 ．
解：由题意得，令，则由图像易得或，所以或.
14. 已知函数，
求函数的单调区间；
若对恒成立，求实数的取值范围．
解：第一问略.
（2）由题意得：，右边式子凑1得，
即，因为，当且仅当等号成立，所以满足即可，当且仅当，即等号成立，所以.
15. 设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求，； (2)证明：.
解：略.
由知，，要证，即证，得，
，构造函数，即证，显然，当仅当时等号成立，因为时，；时，，取等条件明显不一致，所以显然不存在，故，即．
16.已知函数．
（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
解：函数．，，是的极值点，，解得，，，当时，，当时，，在单调递减，在单调递增．
（2）证明：当时，，即只需要证明，，构造，则对恒成立，故只需证恒成立，当时，．
17. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）设，其中，若恒成立，求的取值范围.
解：略.
由题意得：，因为，当且仅当时等号成立,所以等价于证:，所以.
18.已知函数，为的导函数．
（1）令，试讨论函数的单调区间；
（2）证明：．
解：（1）略；
（2）由题意得：，因为（当且仅当时等号成立），等价于证明，构造，则，易知
19.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若方程有两个实数根，求实数的取值范围．
解：（1）略；
（2）由题意得：有两解，得，构造，易得，所以，当且仅当时等号成立，要使方程有两个实根，则需满足，得.
20. 已知．
（1）若，求的单调区间；
（2）若的最小值为，求证．
解：（1）略；
（2）构造，则，则，，，
，，接下来分类讨论：1，当，则，成立；
2，当，则，得，成立；3，当，则，得；综上得证.
21.已知函数，其中.
（1）若，证明：是定义域上的增函数；
（2）是否存在，使得在处取得极小值？说明理由.
解（1）略；
（2）构造，则，当且仅当时等号成立，
即，因为在处取得最小值，所以，这里需说明以及矛盾（方法同上题衡水金卷）.
22. 已知函数．（为常数）
（1）当时，讨论函数在区间上的单调性；
（2）若，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）略；
（2）由题意得：，即，
右边凑1，得，
构造，则，即，当且仅当时取等号，所以只需满足.
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