中点辅助线的构造

如图①,在矩形 ABCD 中,E是CB 延长线上的一个动点,F,G分别为AE,BC的中点,FG与ED 相交于点H.

(1)求证:HE=HG;

(2)如图②,当BE=AB时,过点A作AP⊥DE于点P，连接BP，求的值。

第一问：

【知识储备】

本题含有两个中点，对含有中点的题型辅助线的构想一般从以下方面入手：

①倍长中线

②构造中位线定理

③直角三角形斜边中线定理

【本题辅助线构想】

方法①      连接AG并延长交DC延长线于点M，连接EM

思路：倍长中线、构造中位线基本图形

易证   △ABG≌△MCG ⇒ G为AM中点 ⇒ FG为△AME中位线

方法②     延长BC至点N使CN=BE，连接DN、AN

思路：构造中位线定理

当构造出CN=BE时，点G即为EN中点，连接AN便有FG为△AEN中位线，

连接DN构造出两组全等，△ABE≌△DEN、△AEN≌△DEN

方法③     连接BF并延长交DA延长线于点Q，连接QC

思路：倍长中线、中位线定理

易证△AQF≌△BEF ⇒ 点F为BQ中点 ⇒ FG为△BQC中位线

还需再证△QDC≌△ECD

【补充】倍长中线法是一种辅助线的构想，具体辅助的作法不一定都是倍长，像本题给出的方法中，都是构造出辅助线后证明中点，所以倍长中线辅助线的具体做法要结合图形特点。

第二问：

【知识储备】

①8字形的基本图形，在这个图形中如果有∠P=∠B那么就有∠A=∠E的结论

②遇到线段和差倍分的问题：截长补短法

③知己一边一角构造全等的方法

④有等腰直角三角形时要想到旋转的方法

【本题辅助线构想】

方法①    

思路：可以是 截长的思路 或者 旋转的思路 或者 一边一角构造全等的思路

方法②  

思路：可以是 补短的思路 或者 旋转的思路 或者 一边一角构造全等的思路