第 8 章隐函数求导和相关变化率

隐函数的求导是对常规求导的一般化, 如果知道一个量的变化有多快, 我们就能求出另一个不同的但与之相关的量的变化会有多块.

考虑两个导数 $\frac{d x^{2}}{d x}$ 和 $\frac{d y^{2}}{d x}$ .

第一个就是问当对 x 稍作改变时候, 量 $x^{2}$ 会有多大的变化(会有近似 2x 倍那么多的变化).

第二个 y 是依赖与 x 的. 可以这样思考: 如果改变了 x , 那么 y 就会有变化. y 这种变化又会引起 $y^{2}$ 的变化. 这样根据链式求导法则:

因此, 当 x 有少许的改变, 那么 $y^{2}$ 就有 $2y \frac{d y}{d x}$ 倍的变化.

8.1.1 技巧和例子

考虑方程 $x^{2} + y^{2} =4$ , 图像就是半径为2、圆心位于原点的单位圆.

这个公式说的是, 圆上点(x, y) 处的切线的斜率是 $- \frac{x}{y}$ .

定义 :变化率是一个量随时间改变的速率. 也就是说 - 如果 Q 是某个量, 那么 Q 的变化率是 $\frac{d Q}{d t}$ .

当你看到"变化率"这几个字的时候, 就应该自动想到 $\frac{d}{d t}$ .

8.2.1 一个简单的例子

下面是一个说明上述方法的相对简单的例子. 设想用打气筒给一个完美球体的气球充气. 空气以常数变化率 12 π 立方英寸每秒进入气球. 当气球的半径达到2 英寸时, 气球的半径的变化率是多少？此外, 当气球的体积达到 36 π 立方英寸时,气球的半径的变化率又是多少？

也就是说如果我们知道半径 r , 那么就可以求出半径的变化率 $\frac{3}{r^{2}}$ .

8.2.2 一个稍难的例子

有两辆汽车A 和B. 汽车A 在一条路上径直向北行驶远离你家, 而汽车B 在另一条路上径直向西行驶接近你家. 汽车A 以55 英里/小时的速度行驶, 而汽车B 以45 英里/小时的速度行驶. 当A 到达你家北面21 英里, 而B 到达你家东面28 英里时, 两辆汽车间的距离的变化率是多少？

先来看下动画演示, 作为解题的第一步骤.

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(本章完)

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