漫谈物理学上的几种空间对称

对称，不但在几何学中重要，而且在物理上也有着重要的应用，不过和物理有关的空间对称，因为很多同学往往没有接触过，所以会觉得困难，这里就简单介绍几种空间对称。大家请放心，这里涉及的问题都很简单，既没有什么群论，也没有诺特定理。

我要和大家说的第一种是镜像对称。顾名思义，这种对称就好像你本人和你在平面镜中的像之间的关系一样。物理学上，一块无限大的均匀平板，如果电荷分布均匀，那么它产生的静电场就是镜像对称的：假如电荷为正，则电场方向指向远离平面的方向，且电场的大小不会随着距离平板的远近而变化。当然现实世界里没有无限大的平板，但如果平板相当于带电粒子不是太小，那粒子只要不太靠近平板的边缘就可以把平板看作是无限大的。大家也可以思考一下，平板边缘的静电场是不是镜像对称。

接下来我们看一个物体受到的力，很显然，如果现实世界里物体受到的力是指向镜面，则它在镜子里受到的力也是指向镜面——如果你把这两个力画在纸面上，就会发现二者是相反的。但是下面的角速度和磁场却不一样，所以角速度、磁感应强度这些量被称为“赝矢量”。

▲ 右图自维基

空间的轴对称和平面不一样，只有类似圆柱体、圆锥体这样的几何体，围绕轴线转动任意角度都不变的才是空间轴对称几何体。在电学中，假设一根带电长直导线，无论是不是无限长，产生的静电场都是轴对称的，如果它还通上电流，那么产生的磁场也是轴对称的。而磁场的方向当然不是指向或背离导线（这两种都叫做径向），只能是与之垂直（称为横向）。

也不单是这种情况，还有比如说两个带等量异号电荷的粒子组成电偶极子，以及一个带电粒子直线运动时产生的电磁场（注意包括了磁场），都是轴对称的。

▲ 上图应该是立体的

最后说说最完美的对称——球对称。犹记得由广义相对论求得的第一个黑洞解，就是所谓的“史瓦西黑洞”，也就是球对称的黑洞。再比如均匀球壳产生的万有引力场和静电场，也是球对称的。但是这里有一个区别：只有均匀球壳内部的万有引力场才是 0，而任意空心导体内部的静电场都是 0，不限于均匀球壳。这是为什么？原因在于带电粒子可以在导体内部自由移动。但是为什么均匀球壳产生的万有引力场强为 0 呢？大致的意思是，以内部任意一点为顶点作圆锥面，与球壳相交于两个相对的面。这两个面到顶点距离的平方与其面积成反比，而万有引力又恰好符合平方反比律。