本题目选自 2021北欧数学奥林匹克
黑板上写有若干个大于的整数. 诺迪对其进行如下操作: 在每一步中, 诺迪在黑板上写下满足如下条件的最小整数:
这个数比黑板上已有的每个数都大.
黑板上已有的每个数都不能整除这个数.
求证: 在某一步之后, 诺迪写下的全是素数.
证明: 设初始时黑板上最大的整数为.
诺迪写下的整数为:
我们首先证明, 任意一个大于的素数,必然会出现在黑板上.
反证: 假设素数未出现在黑板上, 由于数列为单增的无穷数列, 则必存在正整数, 使得
注意到我们写下之后，满足诺迪要求的两个条件, 且比小, 故不为满足条件的最小整数, 矛盾!
于是假设不成立, 即任意一个大于的素数,必然会出现在黑板上.
对任意合数, 若存在素数使得, 由于, 可能需要些时已经出现在了黑板上, 故必不可能出现在黑板上.
于是对任意黑板上出现的合数, 它的所有素因子一定小于.
下面我们证明一个引理:
引理: 给定自然数, 已知为素数.无穷数列中每个数都不含之外的素因子. 则必存在正整数,使得.
引理的证明: 对进行归纳.时,显然满足条件.
对数列, 若存在正整数, 使得对任意的自然数, 均有,则必存在正整数, 使得,的正整数有无穷多个. 此时转化为个素因子的情况, 由归纳原理知显然成立.
反之, 若满足的正整数有无穷多个.
则对这无穷多个数组成的新数列, 再考虑满足的正整数是否有无限个. 若为有限个, 则由归纳原理知结论成立.
若为无限个, 继续考虑这满足条件的数组成的无穷项的新数列....
若每一步均为无限个, 则我们必可以得到一个正整数, 使得对任意,均有, 此时为的倍数.
引理证毕.
回到原题目, 由于对任意黑板上出现的合数, 它的所有素因子一定小于, 故这些合数所组成的数列的素因子个数为有限个. 由引理知, 若这些合数为无穷个, 则必存在倍数关系. 于是这样的合数只有有限个. 当这有限个合数被列举完之后, 再列出的正整数必为素数.
证毕.
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