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例1.关于的不等式的解集是,则关于的不等式的解集是( )
A. B. C. D.
练1-1. (2018-2019合肥一中六中期中6)若关于的不等式的解集为,其中为常数,则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
练1-2. 解下列不等式
; .
例2.已知二次函数,若,,则实数的取值范围.
练2-1. (2018-2019合肥168期中15)若当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是_____________。
练2-2.(2018-2019合肥一六八期中6)已知集合,对满足集合的所有实数,使不等式成立的的取值范围为( )
A. B. C. D.
例3.(2020合肥8中期中8)已知,且,则的最小值是( )
A. B. C. D.
练3-1. 已知,求最大值和最小值.
练3-2. ,,求的最小值
练3-3. 函数,若互不相等的实数满足,则的取值范围是____________。
例4. 已知定义域为的函数在上单调递减,函数是偶函数,若,,,为自然对数的底数,则的大小关系是___________.
练4. 已知函数关于对称,且当时,,则( )
A. B.
C. D.
家庭作业
1.已知,,,,
①为真命题,的取值范围;
②和至少有一个真命题,和至少有一个假命题,则的取值范围。
2.,求的最小值
3.已知函数,若,且,则的取值范围是____________.
例1-1. (2017-2018年合肥一中期末第19题 第2问)
函数.若函数的最小值为,求的值.
练1-1. 若函数的值域是,那么它的定义域是( )
A. B. C. D.
例1-2.已知函数,则函数的零点个数可能为___________个.
练1-2.已知函数,,则方程为正实数)的根的个数可能为____________个.
例2. 设函数的图像关于直线对称,若当时,,则当时,
练2. 已知为上偶函数,当时,,则当时,求函数的解析式.
例3-1. 定义在上的函数满足,若,则不等式的解集为___________.
练3-1.已知函数,在上满足 ,求参数的取值范围.
例3-2. 函数满足:①在定义域内为单调函数,②存在使得在上的值域为,求的取值范围.
练3-2. 已知函数,若函数的定义域、值域都为,且在上单调,求实数的取值范围。
家庭作业
1.已知函数在上单调递增,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知函数,存在区间,使在区间上的值域为,则实数的取值范围为_____________。
3.已知函数,,若函数恰有两个不同的零点,则实数的取值范围为__________.
题型一:抽象函数判断单调性
例1-1.,有,当时,,判断的单调性.
练1-1. ,有,当时,,判断的单调性.
例1-2. ,有,当时,,判断在的单调性.
练1-2. ,满足,当时,,判断的单调性
题型二:抽象函数判断奇偶性
例2.定义域为,有,证为奇函数.
练2. 为定义域在上不恒为0的函数,且,都有,判断的奇偶性.
题型三:抽象函数解不等式
例3-1. 定义在非零实数集上的函数对任意非零实数,满足:,且当时,,解不等式:.
练3-1. 定义域在上单调函数满足,且,则,都有,求实数的取值范围.
例3-2. 已知函数的定义域为,对定义域内任意的都有,当时,且,解不等式:
练3-2. (2020合肥八中期中22题)
已知定义在上的函数,满足,且当时,有,若,解不等式.
例3-3. 已知函数是定义在上的偶函数,且在,上单调递减,,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
练3-3. 已知函数是定义在上的偶函数,且在上单调递减,,则不等式的解集为( )
A., B. C., D.
例1.已知函数,函数的最大值、最小值分别为,,则__________.
练1-1. 已知函数,,函数的最大值、最小值分别为,,则_________.
练1-2. (2020合肥五中期中15题)已知函数为定义在上的函数,且满足,若,求在上的最大值与最小值之和___________.
例2. 若函数的一个零点在区间上,另一个零点在区间上,则实数的取值范围为________.
练2-1. 已知关于的二次方程,若方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,的范围是_________.
练2-2. 已知函数,,
(1)若在区间有零点,求的取值范围;
(2)若关于的方程有两个大于1的不同的实根,求取值范围.
例3-1. 函数的零点个数为___________.
练3-1.函数的零点个数为___________.
例3-2. 已知函数,若关于的函数有两个不同的零点,则实数的取值范围是______________.
练3-2. 已知函数,若方程恰有两个不同的根,则实数的取值范围是________.
例3-3. (2020合肥五中期中17题)
已知是定义域为的奇函数,当,时,.
(1)写出函数的解析式;
(2)若方程恰有3个不同的解,求的取值范围.
练3-3. (2019合肥168期末20)
已知函数,在一个周期内的图象如下图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)设,且方程有两个不同的实数根,求实数的取值范围和这两个根的和.
例4-1. 函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
练4-1. 函数的部分图象大致为( )
A.B. C.D.
练4-2. 函数的图象大致为( )
A.B.C.D.
练4-2. 函数的大致图象为( )
A. B.C. D.
例1. (2017-2018合肥六中段一第5题)
已知函数,则______________.
练1. (2017-2018合肥七中段一第15题)
若函数满足,则的最小值为_______________
例2. 已知,,则函数的最大值为_____________.
练2. 已知函数,,设,若的图象恒在轴上方,求的范围.
例3. (2018-2019合肥九中段二第12题)
若,则函数的( )
A.最小值为0,无最大值 B.最小为0,最大值为6
C.最小值为,无最大值 D.最小值为,最大值为6
练3. (2019-2020合肥168诺贝尔班期末10题)
已知函数,的值域为,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
例4. (2019-2020合肥6中期末15)
若,,,,则___________.
练4. 已知,,且,求的值.
例5.设函数.
(1)若是偶函数,求的值;
(2)若存在,,使得成立,求实数的取值范围;
练5. (2019-2020合肥168诺贝尔班20题)
设函数是定义域为的奇函数.
(1)求的值;
(2)若,求使不等式恒成立的的取值范围;
(3)若,且在上的最小值为,求的值.
分类讨论是因为参数的不确定性,我们需要把参数所有的可能性全部列举出来,并对每个可能性进行分析,其实就是把题目化整为零,各个击破,最后再整和结论。
情形1:不确定集合是否是空集要对集合分空集和非空集两种情况讨论;
情形2:一次函数的斜率正负不确定要分类讨论;
情形3:分段函数求值不确定在哪一段要分类讨论;
情形4:等式(方程,不等式)两边同时除以一个数时,不确定的大小,要分讨论;
情形5:不确定是不是一元二次方程,不等式,函数 要分讨论,函数还要分;
情形6:二次函数的对称轴与区间的位置关系不确定,一般要 分三种情况讨论;
情形7:的根或零点与区间位置关系不确定时需要分类
情形8:指数函数()和对数函数()的底数大小不确定要分讨论;
情形9:去绝对值符号时不确定绝对值里面的数的正负性需要分来讨论;
情形10:复合函数由于有参数导致单调性不能确定需要分类讨论;
情形11:函数在区间上单调时一般要分单增还是单减。
…………………………
例1. (2020-2021合肥五中期中17题)设集合,.
(1)若,求实数的取值范围;
(2)若,求实数的取值范围.
练1. (2020-2021合肥七中期中18题)已知集合,
(1)若,求的取值范围;
(2)若是成立的充分不必要条件,求的取值范围.
例2-1. 解关于的不等式:
练2-1. 解关于的不等式:
例2-2. (2017-2018合肥十中段一第20题)
已知函数(是常数)在区间上的最大值是
(1)求的表达式;
(2)求关于的函数的最值.
练2-2. (2018-2019年合肥一、七中段一第19题)
已知函数在区间,上有最小值,记作
(1)求的表达式
(2)作出的图象并根据图象求出的最大值.
例2-3. (2017-2018合肥六中段一第9题)
如果函数在区间上是单调递增的,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.
练2-3. (2018-2019年合肥九中段一第14题)
函数在区间上递减,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
例3-1. 已知且,讨论的单调性.
练3-1. (2019-2020合肥168诺贝尔班期末8)
已知函数在上是增函数,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
例3-2. 设,函数在的最大值是14,求的值
练3-2. 已知函数
(1)求解关于的不等式;
(2)若恒成立,求实数的取值范围.
例1.设函数
(1)若对任意的,使得成立,求实数的取值范围.
(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围.
练1. 已知,,若时,恒有成立,求的最大值.
例2-1. 已知函数和函数,若,,使得成立,求的取值范围_____________.
练2-1. 已知函数,,为实数,对任意的,总存在,有成立,求实数的取值范围.
例2-2. (2018-2019年合肥六中段一第12题)
已知奇函数在上单调递增,且,若对所有的,当时都成立,则实数的取值范围是____________.
练2-2. (2018-2019年合肥一中段一第22题)
已知为定义在的奇函数,且,任意,时,有,任意的,存在使得成立,求取值范围.
例2-3. (2020合肥8中期中16)已知函数,若,使得成立,则实数的取值范围是 .
练2-3. (2020合肥7中期中16)已知函数,,若对任意,360docimg_501_,总存在360docimg_502_,360docimg_503_,使360docimg_504_成立,则实数360docimg_505_的取值范围为 .
例1-1.360docimg_506_ 练1-1. 360docimg_507_
例1-2. 360docimg_508_ 360docimg_509_
练1-2. 360docimg_510_ 360docimg_511_
例1-3. 360docimg_512_. 练1-3. 360docimg_513_
例2-1. 设360docimg_514_,且360docimg_515_为常数,当360docimg_516_时,函数360docimg_517_的最小值是_________________.
练2-1. 已知函数360docimg_518_(360docimg_519_为实数),360docimg_520_,当360docimg_521_时,求函数360docimg_522_在360docimg_523_上的最小值
例2-2. 函数360docimg_524_,若360docimg_525_,则360docimg_526___________________.
练2-2. 函数360docimg_527_,360docimg_528_,若360docimg_529_,求360docimg_530______________.
例2-3. 已知定义域为360docimg_531_的函数360docimg_532_是奇函数,对任意的360docimg_533_,不等式360docimg_534_恒成立,求360docimg_535_的取值范围_______________.
练2-3. 已知360docimg_536_是定义在360docimg_537_上的奇函数.
(1)求360docimg_538_的值;
(2)若360docimg_539_,求实数360docimg_540_的取值范围.
例2-4. (2020-2021六中期中21题)
已知函数360docimg_541_
(1)求360docimg_542_的值;
(2)当360docimg_543_的定义域是360docimg_544_时,求函数360docimg_545_的值域.
练2-4. 已知函数360docimg_546_
(1)若函数360docimg_547_为奇函数,求360docimg_548_的值,并求此时函数360docimg_549_的值域;
(2)若存在360docimg_550_,使360docimg_551_,求实数360docimg_552_的取值范围.
例1-1.(2018-2019合肥十中期中第16题)
关于函数360docimg_553_,有下列命题:
①360docimg_554_的图象关于360docimg_555_轴对称;②360docimg_556_的最小值是2;③360docimg_557_在360docimg_558_上是减函数,在360docimg_559_上是增函数;④360docimg_560_没有最大值
其中正确命题的序号是__________________..
练1-1. (2018-2019合肥168期末第2题)
函数360docimg_561_是360docimg_562_ 360docimg_563_
A.最小正周期为360docimg_564_的奇函数 B.最小正周期为360docimg_565_的奇函数
C.最小正周期为360docimg_566_的偶函数 D.最小正周期为360docimg_567_的偶函数
例1-2. 设函数360docimg_568_,则使得360docimg_569_(1)成立的360docimg_570_的取值范围是( )
A.360docimg_571_ B.360docimg_572_,360docimg_573_,360docimg_574_ C.360docimg_575_ D.360docimg_576_,360docimg_577_,360docimg_578_
练1-2. (2019-2020合肥168期中10)
已知函数360docimg_579_,则( )
A. 360docimg_580_ B.360docimg_581_
C. 360docimg_582_ D.360docimg_583_
例1-3. 函数360docimg_584_的部分图像大致是( )
A.360docimg_585_B.360docimg_586_C.360docimg_587_D.360docimg_588_
练1-3. (2018-2019合肥168期末第9题)
函数360docimg_589_的部分图象大致是360docimg_590_ 360docimg_591_
A.360docimg_592_B.360docimg_593_C.360docimg_594_D.360docimg_595_
例3-1. 已知函数360docimg_596_在360docimg_597_上的最大值为360docimg_598_,则360docimg_599_的取值范围是( )
A.360docimg_600_ B.360docimg_601_ C.360docimg_602_ D.360docimg_603_
练3-1. 已知函数360docimg_604_,求函数在360docimg_605_上的值域.
例3-2. 已知函数360docimg_606_,360docimg_607_,使得360docimg_608_,则实数360docimg_609_的最大值是_____________.
练3-2. 已知函数360docimg_610_,360docimg_611_,使得360docimg_612_,则实数360docimg_613_的最大值是_____________.
例3-1. 已知函数360docimg_614_,其中360docimg_615_.
(1)当360docimg_616_时,求不等式360docimg_617_的解集;
(2)若存在360docimg_618_,使得360docimg_619_,求实数360docimg_620_的取值范围.
练3-1. (2020-2021合肥庐阳期中22题)已知函数360docimg_621_
(1)当360docimg_622_时,求函数360docimg_623_的单调递增区间.
(2)当360docimg_624_时,360docimg_625_的最大值为360docimg_626_,求实数360docimg_627_的取值范围.
例3-2. 已知函数360docimg_628_.
(1)当360docimg_629_时,求不等式360docimg_630_的解集;
(2)若关于360docimg_631_的不等式360docimg_632_在360docimg_633_,360docimg_634_有解,求实数360docimg_635_的取值范围.
练3-2. 已知函数360docimg_636_,360docimg_637_.
(1)若360docimg_638_时,解不等式360docimg_639_;
(2)若关于360docimg_640_的不等式360docimg_641_在360docimg_642_,360docimg_643_上有解,求实数360docimg_644_的取值范围.
(1)360docimg_645___________;
(2)360docimg_646___________;
(3)360docimg_647___________;
(4)360docimg_648___________;
(5)360docimg_649___________;
(6)360docimg_650___________;
(7)360docimg_651___________;
(8)360docimg_652___________;
(1)360docimg_653___________;
(2)360docimg_654___________;
(3)360docimg_655___________;
(4)360docimg_656___________;
(5)360docimg_657___________;
(6)360docimg_658___________;
(7)360docimg_659___________;
(8)360docimg_660___________;
(9)360docimg_661___________;
(10)360docimg_662___________;
(1)360docimg_663_
(2)360docimg_664_
(3)360docimg_665_
(4)360docimg_666_
(5)360docimg_667_
(1)已知360docimg_668_,用360docimg_669_表示360docimg_670_
(2)已知360docimg_671_,求
①360docimg_672___________; ②360docimg_673___________;
③360docimg_674___________; ④360docimg_675___________;
(3)已知正实数360docimg_676_满足360docimg_677_
①求360docimg_678_的值
②比较360docimg_679_的大小
(4)函数360docimg_680_的图像关于点___________对称
(1)360docimg_681_ (2)360docimg_682_
(1)已知360docimg_683_,则360docimg_684_( )
A.360docimg_685_ B.360docimg_686_ C.360docimg_687_ D.360docimg_688_
(2)设360docimg_689_是以360docimg_690_为周期的奇函数,且360docimg_691_,若360docimg_692_,则360docimg_693_的值等于 .
(3)已知360docimg_694_,360docimg_695_,则360docimg_696_ 360docimg_697_
A.360docimg_698_ B.360docimg_699_ C.2 D.360docimg_700_
(4)已知函数360docimg_701_在360docimg_702_时取得最大值,则360docimg_703_ .
(5)已知360docimg_704_.求下列各式的值:
(1)360docimg_705_;
(2)360docimg_706_
(6)已知360docimg_707_,则360docimg_708_( )
A. 360docimg_709_ B.360docimg_710_ C.360docimg_711_ D.360docimg_712_
(7)已知360docimg_713_,则360docimg_714_的值是( )
A. 360docimg_715_ B.360docimg_716_ C.360docimg_717_ D.360docimg_718_
(8)已知360docimg_719_
求:(1)360docimg_720_的值;(2)360docimg_721_的值
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