内容提要：数学教学的根本目的在于引导学生在“使用知识、欣赏知识、与知识打交道的过程之中发展学生的思维能力，特别是创造性思维，进而是创造能力。如何理解在学习《立体几何初步》这门学科中培养学生的创造性思维？奥苏贝尔的上位学习的理论认为，学生从已知的包摄性较广的整体知识中掌握分化的部分，比从分化的部分中掌握整体知识难度要低些，即下位学习要比上位学习更容易些。作为一名教师，要从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题。即在学科知识的学习过程中，善于发现、归纳研究对象的特点，从中抽取更普遍的规律，用以指导新的学习，同时不断对这些规律进行修改与补充。具体如下，基于“问题发现与提出”的章节知识结构建构；基于“联系与变化”观点下的问题探究；教师思维的改变。
关键词：创造性思维，联系与变化
中学数学课程是公共文化的一部分，数学的学习对于理解人类文化的发展是必不可少的一部分。长期以来，数学教学负载了传递基础知识和基本技能训练的任务，但教学的根本目的却并不仅在于所谓的“双基训练”，而在于引导学生在“使用知识、欣赏知识、与知识打交道的过程之中发展学生的思维能力，特别是创造性思维，进而是创造能力。高中数学教学，特别是教师长期从事高中数学教学，长期的教学，习惯于让学生不容置疑地跟从老师的思路获得规定的答案，“于是学生的脑子习惯了只是在别人的脑子走过的路上行走。教学中恢复教学的价值，关注学生的“发展性学力与创造性学力，重视学生的基本能力与基本态度的教学，使学生为发展自己的思维，提高自已的理解力而学，教师为发展学生的思维而教。
所谓创造性思维，可以这样说，凡是没有有效方法可供直接利用，没有确定规则可以遵循的思维都属于创造性思维。其主要特征，第一是求异求新，创造是其思维活动的核心；第二是价值性；第三是跃迁性。
《立体几何初步》这个单元通过学习培养学生的空间直觉能力与逻辑思维能力，锻炼学生运用清晰的语言去正确地表达思想的能力。人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学的基本要求。
奥苏贝尔的“上位学习理论”中：当学生学习一种包摄性较广，可以把一系列概念从属其下的新命题时，新学习的内容便与学生已有的认知结构中已有概念形成了一种上位关系。奥苏贝尔认为在这个过程中，同化是以三种不同的方式增强知识的保持：一是通过把已有的有关概念作为固定点，从而使它们成为高度稳定的观念。二是由于新知识与已有的有关概念一直保持着实质的联系，可以使新知识免受干扰。三是由于新知识建立在认知结构中有关概念的相互关系之中，使得信息提取成为一条较有条理的过程，较少带有任意的性质。奥苏贝尔认为，学生从已知的包摄性较广的整体知识中掌握分化的部分，比从分化的部分中掌握整体知识难度要低些，即下位学习要更容易些。在学生已有的认知结构中，也是按照包摄性水平组成的。包摄性较广的知识占有最高层次。
如何理解在学习《立体几何初步》这门学科中培养学生的创造性思维？从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题。知识是重要的，但我们更需要的，是驾驭知识的睿智，面对陌生的问题，敢于直面攻克的创新能力，它的本质是高超的思维水平，是智力因素。用科学的方法掌握在实践中总结出来的学科内容中符合科学的规律。作为一名教师，要站在系统的高度教学知识。既在学科知识的学习过程中，善于发现、归纳研究对象的特点，从中抽取更普遍的规律，用以指导新的学习，同时不断对这些规律进行修改与补充。
一、基于“问题发现与提出”的章节知识结构建构
创新能力的一个非常重要的方面在于能够发现问题、提出问题。这种能力是指人对于所经过或已经认识的事物进行修正，从而产生新的形式和组织方式。这种能力需要一个人具有灵活的准备状态，灵活性可以导致对事物的重新解释和重新组合。有些问题，并不是需要立刻解决，而是提出问题，能够提出问题则成功了一半。
1、通过类比，提出问题，树立空间意识，形成主要概念及定理。
波利亚在《怎样解题》中用了一连串问句与建议，来表示思维过程的正确探索程序，其核心在于不断地变换问题，连续地简化（或繁化）问题，把数学解题看成为问题化归的过程，即最终归结为熟悉的基本问题加以解决。
如：你能不能提出一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？立体几何在初中平面几何的基础上，无疑具有非常好的固着点。
例1 已知平面上的两个的命题，试类比出相应的空间命题，并判断真假。
⑴平行于同一条直线的两条直线相互平行。
类比：平行于同一个平面的两条直线相互平行；
平行于同一条直线的两个平面相互平行；
平行于同一个平面的两个平面相互平行。
⑵垂直于同一条直线的两条直线相互平行。
类比：垂直于同一个平面的两条直线相互平行；
垂直于同一条直线的两个平面相互平行；
垂直于同一个平面的两个平面相互平行。
通过类比，学生很容易意识到在空间思考问题与平面上的差异，同时便于学生对于易混的命题进行同化。特别是对于重要定理的类比，如：
序号 | 平面 | 空间 |
1 | 中垂线的定义 | 垂面的定义 |
2 | 圆的定义 | 球面的定义 |
3 | 平行传递性 | 平行公理(性质4) |
4 | 等角定理 | 等角定理 |
5 | 平行线截线段成比例定理 | 平行平面截线段成比例定理 |
6 | 等底面积等高的三角形面积相等 | 祖暅原理 |
通过类比，得出本章节中重要的概念与定理，使知识结构有了一个稳定的基桩，使整体内容都建立在学生已有知识之上，降低了难度。
2．以思维的相互转化为主线，构建“平行与垂直”双基平台
在教学时，要突出建构知识网络，在解题实践中领悟其中蕴涵的数学思想和方法，并切实掌握．本章节的教学帮助学生建立完整的知识体系，如结构图（图1），感受空间图形中的转化思想，如维度的调整。“要证线面垂直，只需线线垂直，要找线面垂直，只需面面垂直。”
3、通过变式题组，优化学生知识结构，发散学生思维
创造性思维的核心一是发散性的加工能力，如流畅性，灵活性，精细性，独创性等，这些特征都是思维发散性所具有的。通过题组，加深学生对平行与垂直的认知，如既要证明垂直，也要说明不垂直。通过重组材料及重新整理知识体系，加深对重要定理的理解。
例2 如图，为矩形，平面为上的点，且平面。
⑴ 求证：；
⑵ 求三棱锥的体积；
⑶ 设在线段上，且满足，试在线段上确定一点，使得平面。
分析：
第一问就是证明线线垂直，只需要证明线面垂直。既证明垂直于过的一个平面，或是证明垂直于过的一个平面。同时过的一个平面也是不唯一的，都具有不确定性，要求学生具有灵活性。同时，对于选定的平面如平面，是平面所找的垂面么？如何证明？
第二问，求体积。作为求体积运算，其中高与底面的确定与选取，也是具有选择性。
第三问，要找一点，使得平面，如何在平面内找到与平行的直线，即如何作出过与平面相交的平面。或者是如何作出过点M，与平面平行的平面。
教学之中鼓励学生追根溯源，在走走停停之间寻找它与其它事物之间的联系，并成为一种思维习惯。通过系统思维与本质的追问，则可以回到本质。对于证明在整体上的把握，不仅是理解证明的关键，而且也是证明何以导致对于相关内容更深刻的理解的主要原因。因此在证明的教学中，我们就应当注意揭示证明的结构。这是几何思维向更高水平发展的一个标志。
通过本题的分析就可以看出，转化是其核心。作为学生的实际处理，则可以有一种方法就是直觉法。学生直观感知所寻找的对象，教师教学时也有时易感知。直观感知、直觉思维都是较重要的。爱因思坦曾有一个精辟的见解，他认为“直觉依赖于对经验的共鸣。”直觉思维始于对问题的自觉的思考，也有一个有意识的接受、集、整理的过程。直觉思维在个体身上的发展主要依赖于已有的知识和经验在大脑中的长期积累和积淀，正是这种积累和积淀例得头脑形成一种一旦接受相关的外部信息就能很快做出直觉判断的能力。
通过以上三点，可以看到，在思维发展的基础上，构建了学生思维发展的结构图，使学生学到的不仅仅是定理，而是定理的来源，定理之间的关系，这种图示的建构，使学生思维得到了有序发展，使学生的知识结构建立在更高的数学思想的下位。
二、基于“联系与变化”观点下的问题探究
从学科角度看，数学中的化归与转化无疑是重要的一种原则。不管如何转化，都是联系与变化的观点下的一种应用。用联系的眼光看待问题，这是化归原则的根本出发点。如动与静、分与合，数与形，进与退，正与反等。从教育的角度看，数学教学就是如何作好规范性与个体的发展性的适当平衡。因此，“联系与变化”的这种上位知识下的学习就是非常重要的。
（一）空间问题平面化
创造性思维的核心潜在来源是转化能力。如何培养学生的的这些核心能力，立体几何初步章节中主要体现的思维就是空间问题平面化。其中主要有三种方式，展开图，三视图（投影）及截面图。通过三种方式探究构成几何体的特征元素，如点、线、面、体。
1．几何体的展开图
展开是一种比较简单的化成平面的方法。对于展开图的处理，要充分关注展开前后的变量
之间的关系。如圆锥的展开图，底面半径与母线沟通了几何体与展开图之间的关系。
通过阅读，学生自己对本章节的常见几何体进行了归纳总结，如图4、图5，并作出了空间正多面体的学生的展开图。同时生成问题：
正方体的展开图有多少种？球面有没有展开图？
世界地图的绘制是不是展开图，什么原理？
2．空间几何体的三视图：
（1）三视图的直接应用
例3．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出 的尺寸（单位：cm），可得这个几
何体的体积是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
通过三视图，可作出相应几何体的直观图，求出体积；也可以从图中找到几何体求体积的相关量，优化思维。
（2）三视图的错例辩析：
例4． 如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度：)，则此几何体的体积是( )。
A．96 B 80 C D
解析：由于思维定势作用，同学很易得出是柱体与锥体的组合几何体，如图8所示。经过认真思考，由于组合体中几何体之间的遮盖，还有两种几何体的三视图也是所给图形，从而使同学打破了学生已有的潜在的错误的思维定势：三视图与几何体是一一对应的。从而发现这是一道错题。
例5．如图，某空间几何体的三视图是三个全等的单位正方形，如下图，试求出其几何体的体积。
分析：由于有了上图的基础，同学们能够认真思考，全面考虑，得出正确结论，如图11-12。
⑶三视图的探究性学习
例6．如图，某几何体由单位正方体构成，其三视图如图14所示，试判断该几何体的形状。
分析：①常规思维，可以得到魔方的几何体。
②是否是唯一的呢？能不能减少呢？（如图15）
③最少可以用多少单位正方体组成呢？（如图16-17）
④上述几何体是否真正最少图形呢？（如图18）
⑤通过题组，学生的思维在连续高效的运转，既要从常规中去理解，又要考虑如何少，通过思维的本质变化，得到最少几何体。
通过一个小的探究性题目，使学生思维不断的变化，更重要的是使学生有了质疑的意识。质疑是思考问题的出发点，不管是探索性质疑还否定性疑，都需要学生不趋同，不盲从，进而培养学生批判性思维。
3．空间几何体的截面图
实验中的截面图：
如图19，正方体的截面。对于正方体的截面，学生易得出几种特殊图形，但其中五边形不易想到。学生通过演示，得出其截面是连续变化的，有四边形，有六边形，就应存在五边形。
如图20，圆柱的截面。
对于圆柱的几种特殊截面，通过实际观察，学生很容易得出。数学学习应应来源于生活情节，而不总是教学情境。
同学作出了一个“实物模型 ”：“在圆柱形玻璃杯中盛半杯水。当杯体直立时，水面的边界是一个圆；当杯体倾斜一个角度时(水面与杯壁四周都相交)，水面的边界会变成另一种曲线。这一曲线，就是椭圆的直观形象”。将它抽象成“数学模型”：“如果用一个与圆柱轴线斜交的平面截这个圆柱，那么平面与这个圆柱侧面的交线是椭圆”。学生提出问题，此时展后之后，这个椭圆在展开图中是什么平面曲线呢？通过实验，如图，学生得出其曲线为正弦曲线。
如图23：圆锥的轴截面，平行于旋转轴的截面，平行于母线的截面。其中学生对于平行母线的截面没有直接经验，直观感知为三角形。通过实验验证，观察到其实际图形。
（二）运动变化中的探究问题
立体几何初步一章的第二个核心思维就是运动变化的思维。立体几何中的运动变化并不比函数中的运动变化少。如通过平移与旋转变换，点动成线，线动成面，面动成体。在运动变化中帮助学生建立空间图形的感觉。如到定点距离为定值的点的轨迹，到定直线距离为定值的点的轨迹等。特别是如“旋转正方体”，从学生熟悉的模型出发，对本章节内容有一整体的认知。让学生对于直觉与数学的严格有一定的分辨。如直线的旋转，学生往往是线段在转，谁在转？
例7．在正方体中，求下列图形以为旋转轴，旋转所成的几何图形：线段。
解析：由图可得以为旋转轴所得轨迹为圆柱的侧面，如图25；以为旋转轴所得轨迹为圆锥的侧面，如图26；
对于以为旋转轴旋转，如何思考呢？点动成线：考虑上任何一点的运动轨迹为圆；线动成面：圆的运动为一列圆所构成曲面，如图27。或者从模型可多媒体可知，其几何体为图28。这正是冷却塔(如图29-30)的形状----旋转双曲面。其两种构成方式各有特点，从物理上、或是从实际生活中都有相应的解释。
例8．如图，是平面的斜线段，为斜足，若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．一条直线 D．两条平行直线
分析：因为是平面的斜线段，且的面积为定值，所以动点到定线段的距离为常数(不妨记为)，于是点在以直线为轴、半径为的圆柱侧面上。由已知，轴与平面不垂直，于是圆柱面与平面斜交。因此，平面内的点的轨迹就是圆柱侧面被平面所截得的椭圆。故选B。
（三）“抽象与具体“及”模式识别“的数学思维在立体几何初步教学中的体现
抽象与具体及模式识别是数学学习的首要的思维模式。即数学学习中通过模式识别也就是问题的归类直接找到相应的工具。
实验1：校园中的三个平面的位置关系。利用所学几何模型，从交线条数，分类说清。学生从生活中的模型(照片)，到数学中的模型，到动手实验的模型（学生手中的模型）都认真参与：并得出了相应的数据。其中有的学生归纳出三个平面相交，则其形状可记为（“恒等，不等，星号，田”字）。
实验2：空间正多面体（证明与动手）
通过归纳得出空间几何体顶点数、棱数、面数之间的关系，即欧拉定理，如图35。在欧拉定理的基出上，证明了多面体的种数及侧面形状，如图36-37。并做出了模型（图33-34）。
（四）整体与部分的数学思维促进学生的空间想象力
思维如果只是被局限于一定的概念、判断和推理之中进行，在达到一定的极限之后，必然会陷入到思维定之中停滞不前。想象蕴含着创造。视野中是当前的事物，思维里却是当前事物引发出的其他事物。想象力做为一种创新的认识能力，是一强大的认识能力，想像力创造出第二自然。其中实物模型、长方体(正方体)模型、三棱锥模型就是其中的重要模型。
对于教材中关于三棱锥体积公式的推导，由三棱柱可以分为三个三棱锥之和，如图，通过分割与组合已经渗透了整体与部分的思想。
对于这种思想，教材在开始就在应用，如棱柱与棱锥的定义：
棱柱的描述性定义：有两个互相平行的面，而且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行。
棱锥的描述性定义：有一个面是多边形，而其余各面是有公共顶点的三角形。
整体与部分这种转化的数学思维在立体几何的计算中也有重要的应用。
例9．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 ( )
例10．在棱长为的正方体的表面上任取4个点构成一个三棱锥，则这个三棱锥体积的取值范围是( )
A. B. C. D.
解析：由图可知，正方体中蕴含的特殊三棱锥，则可得。
其实，可以看到，四个面都是直角三角形的四面体，古人以鳖臑取名。“斜解堵堑，其一为阳马，一为鳖臑”。数学史告诉我们，不要草率的作任何结论，看上去相差甚远的两个图形之间往往含着意想不到的联系。
整体与部分这种转化的数学思维在立体几何中存在性问题中的应用。
例11．如图45，M是正方体的棱的中点，给出下列命题，过M点有且只有一条直线与直线、都相交。
例12．如图46，在正方体的中，分别为棱的中点，则在空间中与直线都相交的直线有( )条。
整体之中的识别，扩展了解题空间，使思维有了完整性，明确了变化规律。
（5）多变的三棱锥
通过题组：体积的处理，让学生体会三棱锥的灵活应用。
例13．设三棱柱 的体积为，分别为棱上的点，且，则四棱锥的体积为（ ）。
法1：中点（特殊值）法2：（特殊值法）极限法，法3：等底面积等高法。
通过多组题目的，让学生感受长方体（单位正方体）的作用。组合与分割。几种特殊锥体（分割）。
例14．空间四边形中，依次为四边的中点，称四边形为中点四边形。
⑴则所得四边形为 ；
⑵若空间四边形的两条对角线相等，则中点四边形为 ；
⑶若空间四边形的两条对角线垂直，则中点四边形为 ；
⑷如果对角线AC＝4，BD＝2，那么EG2＋HF2的值等于 。
例15．定点不在所在平面内，过点作平面使的三个顶点到该平面距离相等，这样的平面其有 。
上面几题可以看出，谁是整体呢？都是不共面四点的整体。精彩的都是整体之中的精彩。
三、改变教师的思维
教师要明确教学之中，应当有意识的将自已的思维过程明明白白地展示给学生。如通过“出声思维”的方法使学生获得一个思考范例。而不是简单通过算法的规定使学生遵循，即要明白算法的意义，而不是简单操作。
为了有效地启动学生思维，需要有效的运用提问。学记中要求教师要善问和善待问：“善问者如攻坚木，先其易者，后其节目，及其久也相说（脱）以解。善待问者如撞钟，叩之以小者则小鸣，叩之以大者则大鸣，待其从容，然后尽其声。”
立体几何初步中有着丰富的资源，如诗：
锥顶柱身立海天，一点一线面相连。
平行垂直皆风景，有棱有角足壮观。
课堂教学之中要挖掘知识结内部的数学思维。建立合理的思维结构，改变一些错误的思维习惯；优化已有的思维习惯；形成创新性思维特点。
更为重要的是，“能够唤起学生新的理智兴趣，把自己对知识的热情传导给学生，使学生有探究的渴望，找到本身的动力。”对于课堂教学来说，这是一件最为重要的事情。
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