1
古希腊有个数学家叫毕达哥拉斯，他生于公元前580年，死于约公元前500年，是中国的春秋时期的人。
他的主要观点是万物皆数，一生二、二生三、三生万物，有点像中国道家的思想。
他认为万物皆数都是整数，或是两个整数的比。也就是我们现在所说的有理数。
有理数分成三类：
整数：1、2、3……
有限小数：0.5是 1和2的比； 0.25是 1和4的比。
无限循环小数：0.3333……是1和3的比。
他的意思是世间的数都可以用这三种方式表示。
毕达哥拉斯还发明了毕达哥拉斯定理：一个直角形，两个直角边平方的和等于斜边的平方。
也就是中国的勾股定理，勾三股四弦必五。勾股定理出自《九章算术》，谁发明的不知道，《九章算术》成书于东汉，比毕达哥拉斯定理晚。
一个很有意思的是世界上所有文明都研究过这个问题，现在认为最神秘的组织共济会起源也与这个问题有关。以后我们再聊。
毕达哥拉斯有一个学生叫希帕索斯，希帕索斯向老师提出了一个问题。
如果这个三角形的两个直角边都是1，那么斜边根号2，这个数是个什么数呢？这个数不是两个整数的比，这个数表示不出来啊？
根号2是1.414后面无限不循环。
他的这个问题动摇了毕达哥拉斯的理念和他在数学界的地位，毕达哥拉斯一想干脆就别让这个问题让人知道了。
那么，怎么办呢？
就让他这个学生肉体消失吧。
于是，毕达哥拉斯就把学生希帕索斯身上绑上一块大石头，沉到了爱琴海底。
这就是第一次数学危机。
所以，毕达哥拉斯被称为学术界的恶棍，也叫学霸。学术界的恶霸。
现在我们知道希帕索斯说的是对，所有数并不一定都是整数和两个整数的比，还有无理数。
有理数加上无理数叫实数，实际存在的数。
2
古希腊还有个数学家叫芝诺，生于公元前490年，死于公元425年，比毕达哥拉斯晚一代。
他研究了很多悖论，用来反驳时间和空间的连续性。
数学家都是怪人，思维方式和普通人都不一样，芝诺就是这样一个怪人，专门提出一些与常识不符的悖论，也就是我们常说的钻牛角尖。
古希腊神话中有一个英雄叫阿基里斯。
在古希腊的神话里，神和神生的孩子是神，人和人生的孩子是人，神和人生的孩子是英雄。
这是西方的英雄概念。
阿基里斯就是神和人生的孩子，所以他是英雄。
西方的英雄一般都是力大无比，刀枪不入，但是每个英雄都会有一个致命的弱点。
阿基里斯也是古希腊跑得最快的英雄，同时又力大无比、刀枪不入，但他的脚后跟这块非常软弱，结果在一次战斗中被人用箭射中了脚后跟，死了。
当然，我们今天讲的不是英雄的故事。
芝诺提出的问题是，阿基里斯不是跑得最快吗？乌龟跑得最慢，让阿基里斯去追乌龟。
芝诺说，假设阿基里斯的速度是乌龟10倍，让乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。
因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！
芝诺的悖论在于，他把跑的这个长度看成无穷大，而追赶的那一小段距离就可以是无穷小，把有限的长度分割成了无限多份。那么，这个无穷小的数是多少？
后来古希腊文明衰落，欧洲文明也沉寂了一千多年，直到文艺复兴运动之后，欧洲又开始研究这个问题。
牛顿（英国数学家、物理学家）、莱布尼兹（德国数学家）独立发明了微积分，引入了一个新的概念叫导数，用一个分数公式表示了这个无限小的数。当两点相互接近的时候，这个数趋于0。
直到有一天，有一个英国的一个大教主叫贝克莱，这个大教主也是个很神奇的人。
他说，你这个分数是有问题的。他的意思是你这两个的值到底是0还是不是0。如果是0，那么0怎么能做分母呢？如果不是0，那个这两个点又怎么能重合呢？也就是阿基里斯还是追不上这个乌龟。
这就提出了一个问题，无穷小到底是不是0。
所以微积分是有问题的，这就是第二次数学危机。
第二次数学危机持续了150年，150年之后很多数学家又对微积分进行了重新定义。
对从无穷小到0的问题研究才出现了后来的量子力学，纳米技术。
3
英国有个数学家叫罗素（1872年—1970年），也是个爱钻牛角尖的人。
他提出了理发师悖论。
说在某个小镇上有一位理发师，他在自己理发店门口立了这样一块广告牌：“我给且仅给自己不刮胡子的人刮胡子。”
也就是说，你自己刮胡子，我就不给你刮了。如果你自己不刮胡子，我才给你刮。
这时罗素就问了，他应不应该给自己刮胡子呢？
他如果给自己刮胡子，他就是一个给自己刮胡子的人，但他的广告牌上说了“我给且仅给自己不刮胡子的人刮胡子。”所以，他就不应该给自己刮胡子。
他如果不给自己刮胡子，他就是一个不给自己刮胡子的人，按他广告牌上的说法，他就应该给自己刮胡子。
那么，他到底应不应该给自己刮胡子呢？
罗素为什么要提出这么个匪夷所思的问题呢？只是为了难为这个理发师吗？
当然不是，因为十九世纪下半叶，德国数学家康托尔创立了著名的集合论，也就是我们数学学的集合。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。
但康托尔这个集合理论有一个瑕疵，他自己知道，但他没说。
到了1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的。这就是英国数学家罗素提出的、著名的理发师悖论。
意思是有一个集合A，这个集合的定义是所有不属于自身A的集合的集合叫B。
那么这就出现了一个问题，A属不属于它自身。
A属于集合A，它就不满足集合B的定义，它不满足这个定义，A就不应该属于A；
如果A不属于A，那么它就满足了“A是所有不属于自身A的集合的集合B”，也就是A属于A。
这就相互矛盾了，也就是理发师要不要给自己刮胡子的问题，也就是自己属不属于自己的问题。
这个问题，到现在也没有得到解决。也叫第三次数学危机。
4
为什么要说这些数学问题。
一是现在取消了奥数加分之后，很多家长很迷茫，让不让孩子钻研数学。
数学是自然科学的基础，也是哲学的基础，我上面说的那些数学家也都是哲学家。
无理数是社会无序的问题，无限小是社会细化的问题，集合是社会有序的问题，自己属于不属于自己的问题，不但是一个哲学问题，也是一个社会问题。自己的刀能不能削自己的把的问题。
对数学的钻研主要任务不是做难题，是对思维深度和广度的培养。
二是北大校长道歉信提出：“焦虑与质疑并不能创造价值，反而会阻碍我们迈向未来的脚步。能够让我们走向未来的，是坚定的信心、直面现实的勇气和直面未来的行动。”
焦虑与质疑才能使我们理性地走向未来，不至于出现“学霸”事件。而建立在主观意识形态上的信心和勇气只能制造无知和狂热。
三是中国很难造出来属于自己的芯片，这不是举国之力的问题，是科学精神的问题，是对焦虑和质疑的态度问题。
不焦虑是自欺欺人，不质疑是盲目自大。
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