同调代数学走入21世纪

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本文讨论西方同调代数的起源、现状和未来。从Cartan关于Leray的讨论班开始。其次介绍Grothendieck及他的学生Gabriel, Verdier, Giraud的工作。然后我们讨论Beilinson, Bernstein, Deligne, Gabber和Lurie的贡献，最后说说对未来的一些想法。

撰文 | 黎景辉

01

开始

本文承继“返朴”2023年4月14日所载李克正先生的《同调代数的起源和发展》，以历史故事的方式介绍同调代数在西方的起源和发展。同调代数在国内的发展历程则留给国内专家撰文详述。关于我们的观点，读者可自择其需。我们并不是给一个纯历史次序的记录。这里比较像一个掠影短片。我们认为一个掠影会更生动地让读者体会同调代数。我们希望引起读者满心好奇地发问：同调代数，这个二十世纪最强力的代数工具是什么？

最早的同调代数公式应该是Euler (1707-1783) 著名的点-线-面公式: V-E +F=2。拓扑流形的同调概念早就出现在Riemann (1826-1866) 和Betti (1823-1892)的工作中。到20世纪初有Poincare (1854-1912), Picard (1856-1941) 和Lefschetz (1884-1972) 深刻的研究。

今日无论用什么语言写的同调论课本一定会讨论拓扑空间的奇异同调群。在1944年Annals of Mathematics刊登的Samuel Eilenberg撰写的文章里，我们能看见最早的、有系统讨论的同调代数的基础: 复形的同调群。1952年Princeton大学出版社出版Eilenberg和Steenrod的代数拓扑学名著, 他们创立了同调群公理系统。这公理系统的第4公理指出，对应于空间及子空间，有同调群的长正合序列。这个简单的要求却在三角范畴里重生对以后的发展有深远的影响。

02

转换

从代数学的观点最有影响力的第一个同调代数的结果应该是1890年Hilbert的Syzygy定理，而第二定理是Hilbert定理90 (证明见[14]十三章命题13.7)，这个定理改变了整个代数数论（见[6]; [16]第五至八章和十一章; [13]第三篇; [15]第10章; [17]15, 16章）。

我们今日看到的【同调代数】应该从1950到1951年Henri Cartan (1904-2008) 在巴黎高师的讨论班开始。在这个讨论班，Cartan-Eilenberg-Serre重新整理了Leray的工作：包括层的定义，层上同调的公理和谱序列。Cartan和Eilenberg (1913-1998) 合写的同调代数^[5]在1956年由Princeton大学出版社出版。他们做了什么呢？他们从代数拓扑学里针对拓扑空间的同调群计算里把同调代数“带”了出来，变为环R上的模的同调不变量，变为代数结构的同调代数！他们引入模的化解用于计算上同调群。

作为例子: 设A是环，M,N是A-模，则从M到N的A-线性映射组成交换群Hom_A(M,N)

以RHom_A记函子Hom_A的导出函子。现设群G作用在交换群M上，则上同调群Hⁱ(G, M)=

。

我们下面简要介绍一下这几波发展的具体内容。

第一波：范畴和函子的概念已出现在Eilenberg和MacLane (1909-2005) 登在1945年的美国数学会的《美国数学会汇刊杂志》上。Cartan和Eilenberg的书亦开始用这个语言和导出函子的概念。革命性的改变来自Grothendieck  (1928-2014) 于1957年发表在日本的东北数学杂志的文章^[10]。

第一，Grothendieck清楚坚定的建立范畴为数学的基础结构，范畴学不是代数拓扑的几个人的语言。

第二，他引入Abel (1802-1829) 范畴并置于同调代数的中心位置；把模范畴换为Abel范畴。

第三，他为导出函子提出一个容易明白和计算的方法——这是对Cartan-Eilenberg^[5]的一个重要的改进。

第四，他指出空间的层的上同调是整体截面函子的导出函子。

第五，他用函子合成的导出函子表达谱序列, 第一次让世人明白了这个复杂工具的用途。

Grothendieck的学生Gabriel (1933-2015) 登在1962年法国数学会Bulletin的博士论文总结了他的Abel 范畴理论。这只是第一波。

差不多在同一时段Hochschild、Heller、Eilenberg, Moore^[7]开始研究用来计算导出函子的复形与范畴的关系。他们称这个研究方向为相对同调理论。近年来这方面发展出很多代数的工作，如：Gorenstein同调理论以及覆盖与包络理论等，后者也即代数表示论中的逼近理论。相对同调理论的专著很多：如：[12]。

第二波：这一幕的主角是Grothendieck的学生Verdier (1935-1989) ——他1967年的博士论文文^[27]又是一创举。首先我们留意Cartan-Eilenberg和Grothendieck均构造导出函子却没有说明这个导出函子是从那一个范畴到什么范畴。Verdier构造出Abel范畴A的导出范畴DA使得函子F: A→B的导出函子DF: DA→DB 由一个泛性刻划。至此，同调代数的问题便转为导出函子的性质了。

Verdier的构造包含以下两个部份: 引入三角范畴和使用范畴的局部化。

一. 同调代数就是要产生长正合序列。

(1) 若我们以模为例子，我们便要求从一个态射的短正合序列得长正合序列。

有这样条件的加范畴便是Abel范畴。

(2) 在代数拓扑学里是从映射锥序列产生长正合序列。

在加范畴模仿这样的构造便得三角范畴，一个重要的性质是：三角范畴的局部化还是三角范畴。

二. Verdier用范畴局部化造Abel范畴的导出范畴并提出比较有效的算法。代数称从整数到分数的过程为局部化。

第三波：Beilinson (1957-)，Bernstein (1945-)，Deligne和Gabber (1958-)在1982年Asterisque 100（由法国数学学会出版的数学期刊《Astérisque》的第100期）上发表了三角范畴的t结构公理。这篇^[2]深入地影响了代数表示论的后续发展。可以用t结构定义偏屈层。柏原正樹 (1947-)和Mebkhout (1949-)使用偏屈层证明了复流形的微分方程的Riemann-Hilbert对应^[11]。

第四波：Lurie认为可用∞-范畴代替三角范畴。设Abel范畴A有足够投射对象，Lurie构造稳定∞-范D^-(A)。并指出同伦范畴hD^-(A)是A的导出范畴 ([21]69页)。所以他说：稳定∞-范畴推广了同调代数。这样从第二波开始的三角范畴已经可以功成身退了。如此: Lurie的《高等代数》里同调代数换成了: 范畴局部化，同伦论，∞-拓扑式，稳定∞-范畴，导出范畴与导出函子。

我们引[8]168页 A.1 : “若我们还是在20世纪我们便使用三角范畴。但是现在我们应利用本世纪同调代数的新发展，使用稳定∞-范畴便可以作代数几何的基本操作如粘贴 (glueing) 和取极限，这样便可以避开三角范畴理论的缺陷。”

03

未来

让我们分开几点来问一些来自微分算子和李群表示论的问题。

第一，取结合环R，则左R-模范畴R-mod是Abel范畴。当环R不必是交换的。我们求R-mod的导出函子的所有性质。我们亦可以取特殊的R，例如取R为四元代数，顶点代数，Hecke (1887-1947) 代数，微分算子环等等。

第二，在Grothendieck理论里计算一个同调群并不是最重要的事，更为有趣的是所有导出函子之间的系。虽然没有明确提出，Grothendieck及他的学生在他们的巴黎IHES第四届到第七届代数几何讨论班（SGA4至SGA7），经常研讨这些运算的构造和性质。当然他们的主题是代数几何的应用, 因此主要对象是交换环。在流形微分算子环的情形，Mebkhout的讲义^[23]介绍了Grothendieck运算。包括张量积, Hom, 对偶, 正极限, 反极限, Γ_Z, f*, f_*, f^!, f_!等的导出函子。

Ayoub的博士论文^[1]详细研究了6个Grothendieck运算。我们问是否可以从这些材料把一般的原则虹吸出来为非交换环作个综合总结。

Scholze (2013年Ramanujan奖, 2018年菲尔兹奖得主) 2023年在Bonn的课程上^[26]指出最先建立6个Grothendieck运算的系统是：

(1) 刘一峰-郑维喆^[19]；

(2) Gaitsgory-Rozenblyum^[9]

最近Scholze的学生Mann^[22]进一步用Lurie的∞-算元 (operad) 来表达6-函子系统。Scholze^[26]亦在D-模范畴建立6-函子系统，并预言可在算术D-模范畴建立6-函子系统。Caro 在这一方面的工作有[3]、 [4]。还未闻有人以Lurie的高等代数重建Berthelot的算术D-模理论。

第三，在复数域上的有限维向量空间取距离度量拓扑，然后让维数趋无穷, 我们便由线性代数进入泛函分析了。学过初等泛函分析的人都知道泛函分析里的定理是不同于线性代数的。例如，在线性代数里只有一个张量积，在泛函分析里，因为可取的拓扑不同而产生不同的张量积。于是有不同的张量代数。

研究非紧李群的实或p进表示便要考虑无穷维线性拓扑空间范畴, 但这不是Abel范畴，幸好1999年F.Prosmans^[24]和J-P.Schneiders^[25]指出它是拟Abel范畴，并且有导出范畴和导出函子理论。目前还未见在p进域上获得类似柏原正樹在实数域上关于核Frechet空间范畴的结果 (相关问题的讨论见[18]），亦未见有拟Abel范畴的Grothendieck运算理论。亦未知Lurie的理论怎样处理拟Abel范畴。

结语

同调代数专家当然有他们的课题。同伦论学者也可以用Lurie的理论重做用三角范畴得来的同调代数。或者像Emerton、Scholze和我们想了解的：Lurie的理论是否可以解决在数论遇到的老同调代数没能解决的问题。

同调代数是一种处理复杂关系的代数计算技术，利用等价关系把数据简化。同伦代数开始处理关系、关系的关系、关系的关系的关系……等复杂结构。这引起研究信息论、通讯技术、计算机理论、人工智能的人的注意。当然同伦关系亦有限制的，例如当n >1时，同伦群是交换的。

是否有产生用非交换群刻画的高次关系的等价关系和新的同调代数呢?

参考文献

[1] Ayoub， J.，Les six operations de Grothendieck,  Asterisque 314、315(2007)。

[2] Beilinson， A.，Bernstein， J.，Deligne， P.，Faisceaux perverse, in Analysis and topology on singular spaces，I (Luminy, 1981), Asterisque 100, Soc. Math. France, Paris，(1982)。

[3] Caro， D.，Le formalisme des six operations de Grothendieck en cohomologie p-adique，arXiv:1209.4020v2 [math.AG] (2012)。

[4] Caro， D.，Systemes inductifs coherents de D-modules arithmetiques logarithmiques，stabilite par operations cohomologiques. Doc. Math. 21: (2016) 1515 – 1606。

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[7] Eilenberg， S.，Moore， J.,  Foundations of Relative Homological Algebra, American Mathematical Soc. Mem 55，(1966)。

[8] M. Emerton，T. Gee，E. Hellmann，An introduction to the categorical p-adic Langlands program，arXiv:2210.01404 [math.NT] (2022)。

[9] Gaitsgory， D.，Rozenblyum， N.，A study in derived algebraic geometry，Vol. I, American Mathematical Society，(2017)。

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[13] 黎景辉，陈志杰，赵春来，代数群引论,科学出版社(2006)。

[14] 黎景辉，白正简，周国晖，高等线性代数学，高等教育出版社 (2014)。

[15] 黎景辉，赵春来，模曲线导引，北京大学出版社，第二版第二次印刷 (2015)。

[16] 黎景辉，代数数论，高等教育出版社 (2016)。

[17] 黎景辉，代数K理论，科学出版社 (2018)。

[18] 黎景辉，微分方程和李群表示，数学进展 48(3) : (2019) 257-301。

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[20] Lurie， J.，Higher Topos Theory,Princeton University Press，  (2009)。

[21] Lurie， J.，Higher Algebra，https://www.math.ias.edu/~lurie/。

[22] Mann， L.，A p-adic 6-Functor Formalism in Rigid-Analytic Geometry, arXiv:2206.02022, (2022)。

[23] Mebkhout， Z.，Le formalisme des six operationsde Grothendieck pour les D-modules coherents，T Paris， Hermann，(1989)。

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[25] Schneiders， J. P.，Quasi-abelian categories and sheaves，Mem. Soc. Math. Fr.(N.S.) 76 (1999)。

[26] Scholze， P.，Six functors formalism, Bonn lectures (2023)。

[27] Verdier， J.-L.，Des categories derivees des categories abeliennes, Asterisque 239, 1996。

作者简介

黎景辉，1974年美国耶鲁大学数学博士，导师朗兰茲（Langlands）。毕业后曾在美国，香港，加拿大，澳洲，台湾的大学当老师。自1978年曾在囯内多所大学讲课。研究方向是代数数论和数学教育。在科学出版社，高等教育出版社，北京大学出版社出版多部数学书籍。

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