孪生素数即相差2的一对素数。例如3和5 ,5和7,11和13,…,10016957和10016959等等都是孪生素数。
孪生素数是有限个还是有无穷多个?这是一个至今都未解决的数学难题.一直吸引着众多的数学家孜孜以求地钻研.早在20世纪初,德国数学家兰道就推测孪生素数有无穷多.许多迹象也越来越支持这个猜想.最先想到的方法是使用欧拉在证明素数有无穷多个所采取的方法.设所有的素数的到数和为:
S=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+...
如果素数是有限个,那么这个倒数和自然是有限数.但是欧拉证明了这个和是发散的,即是无穷大.由此说明素数有无穷多个.1919年,挪威数学家布隆仿照欧拉的方法,求所有孪生素数的倒数和:
B=(1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+...
如果也能证明这个和比任何数都大,就证明了孪生素数有无穷多个了.这个想法很好,可是事实却违背了布隆的意愿.他证明了这个倒数和是一个有限数,现在这个常数就被称为布隆常数:B=1.90216054...布隆还发现,对于任何一个给定的整数m,都可以找到m个相邻素数,其中没有一个孪生素数.
1966年,中国数学家陈景润在这方面得到最好的结果:存在无穷多个素数p,使p+2是不超过两个素数之积。
若用p(x)表示小于 x的孪生素数对的个数.下表是1011以下的孪生素数分布情况:
x | p(x) |
1000 | 35 |
10000 | 205 |
100000 | 1224 |
1000000 | 8169 |
10000000 | 58980 |
100000000 | 440312 |
1000000000 | 3424506 |
10000000000 | 27412679 |
100000000000 | 224376048 |
p(x)与x之间的关系是什么样的呢?1922年,英国数学家哈代和利托伍德提出一个孪生素数分布的猜想:
p(x)≈2cx/(lnx)2
其中常数c=(1-1/22)(1-1/42)(1-1/62)(1-1/102)...
即,对于每一个素数p,计算(1-1/(p-1)2),再相乘.经过计算得知 c≈0.66016称为孪生素数常数.这个猜想如上所述有可能是正确的,但是至今也未获证明.
下表是目前所发现的最大的前二十个孪生素数:
rank | prime | digits | who | when | comment |
---|---|---|---|---|---|
1 | 361700055.239020±1 | 11755 | Henri Lifchitz | 1999 | Twin |
2 | 835335.239014±1 | 11751 | Ballinger & Gallot | 1998 | Twin |
3 | 242206083.238880±1 | 11713 | Jarai & Indlekofer | 1995 | Twin |
4 | 40883037.223456±1 | 7069 | Lifchitz & Gallot | 1998 | Twin |
5 | 843753.222222±1 | 6696 | Rivera & Gallot | 1997 | Twin |
6 | 7485.220023±1 | 6032 | Buddenhagen & Gallot | 1998 | Twin |
7 | 8182815.217838±1 | 5377 | Smith & Gallot | 1998 | Twin |
8 | 570918348.105120±1 | 5129 | Harvey Dubner | 1995 | Twin [Ribenboim95, p263] |
9 | 22687485.216557±1 | 4992 | Hanson & Gallot | 1999 | twin |
10 | 697053813.216352±1 | 4932 | Jarai & Indlekofer | 1995 | Twin [IJ96] |
11 | 37442007.215440±1 | 4656 | Hanson & Gallot | 1999 | Twin |
12 | 6797727.215328±1 | 4622 | Tony Forbes | 1995 | Twin [Forbes97] |
13 | 1692923232.104020±1 | 4030 | Harvey Dubner | 1993 | Twin [Peterson93] |
14 | 3981.213153±1 | 3964 | Walker & Gallot | 1999 | Twin |
15 | 245630385.212937±1 | 3903 | Brennen & Gallot | 1998 | Twin |
16 | 915.211455±1 | 3452 | Ballinger & Gallot | 1998 | Twin |
17 | 4655478828.103429±1 | 3439 | Harvey Dubner | 1993 | Twin [IJ96] |
18 | 1706595.211235±1 | 3389 | Brown, Noll, Parady, Smith_G, Smith_J & Zarantonello | 1989 | Twin [PSZ90] |
19 | 10941.210601±1 | 3196 | Hanson & Gallot | 1998 | Twin |
20 | 12110457.210006±1 | 3020 | Lifchitz & Gallot | 1998 | Twin |
回文素数是非常有意思的素数,最小的是131,还有151,181,191,313,353,373,383,757,787,797等等.下表列出了最近发现的最大的十个回文素数:
742950290870000078092059247, 742950290871010178092059247,
742950290872020278092059247, 742950290873030378092059247,
742950290874040478092059247, 742950290875050578092059247,
742950290876060678092059247, 742950290877070778092059247,
742950290878080878092059247, 742950290879090978092059247.
“孪生素数猜想”与著名的“哥德巴赫猜想”是姐妹问题,它也是现代素数理论中的中心问题之一,谁能解决它(不论是证明或否定),必将成为名扬千古的历史人物。
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