始于2002年的中国女子数学奥林匹克(简称CGMO)一直备受支持和关注,今年开始清华大学也开始举行每年一届的丘成桐女子数学奥林匹克。这当然是非常好的事情,让更多喜欢数学的女生一展风采,鼓励更多的女生在数学和科学方面发展。当然这也取得了很多成果,例如我校2008级的学生王若漪就是当年参加2010年女子数学奥林匹克获得银牌,并因为获得2010年全国高中数学联赛陕西省级一等奖,后来保送去了中科大。最后到牛津大学读的组合数论方面的数学博士,最近刚刚毕业获得博士学位。当然这样的例子数不胜数。相信以后男女地位会更加平等,会涌现出更多的女数学家和女科学家。
2021年CGMO于8.10-8.15日在长春东北师大附中举行,因为疫情原因,今年考试是线上形式,8.12,13日早上4个小时各考4个题目。今年共有33个代表队共136名学生参加。昨天第一天的第二题为几何题题,本文写一下本人对本题解答的思考过程。
题目如下:
△ABC内接于圆O,I,J分别为其内心和A旁心,点X,Y在圆O上且∠AXI=∠AYJ=90°,
线段IJ的中垂线交直线BC于K点。求证:AK平分XY。
首先根据题意画出准确的图形,
题目中没有特殊的条件,所以只要按部就班的画图即可。
然后挖掘图形的基本性质。
由I、J为△ABC内心、旁心,看到外接圆想到鸡爪定理,
从而得到SI=SB=SJ=SC(S为IJ中点,又是弧BC中点)。
从而IJ中垂线即为过S的AS的垂线。
不难发现KSJY交点在圆上,这是不难证明的,因为此点即为
A的对径点A'。对称的XI也过A'。这个结论应该是有用的,
因为这就能用到∠AXI=∠AYJ=90°了。
接下来看点K的性质,由鸡爪结构的相似可以得到
△SIA'∼△SKI,这能得到SI^2=SA'*SK及等角。这应该也是有用的,
毕竟描述出了点K的性质。
下面从结果入手,需要证明AK平分XY。要么用面积法计算,
要么用几何性质转化。
计算感觉角度很难度量。估计用几何性质转化的可能性比较大。
容易发现XY//BC,这个由垂直平分线及等角不难证明。
估计要在此性质基础上转化。
开始我想用垂径定理,设AK交XY于M,只需证MOS共线,这个
可以用Menelaus定理计算,应该也不会太难,不过似乎比较麻烦。
证明中点的另一个思路就是延长
AX,AY,交BC于F,E,由平行需证KE=KF.
发现EJ//SK//FI,利用对称线,只需证明FI⊥AI即可。
这样基本就可以消去J,Y,K及相关点,得到下图。
需证FI⊥AI,这是一个常见的结论,证明不难。
可以用同一法证明,设过I的AI垂线交BC于F',F'A交圆O于X',
由鸡爪定理知AI为圆S切线,从而
F'I^2=F'C*F'B=F'A*F'X',从而AX'⊥IX',
故X,X'重合,F,F'重合,从而得证。
最后将证明整理如下:
证明:
设A对径点为A',F在BC上且FI⊥AI,FA交圆于X',AY交BC于E。
由鸡爪定理知SI=SB=SJ=SC,
故FI为圆S切线,从而
FI^2=FC*FB=FA*FX',则AX'⊥IX',故X,X'重合,AXF共线。
对称的有EJ⊥AJ.故EJ//SK//FI,故K为EF中点。
依题意JY,XI,SK均过A'点。
从而∠A'JI=∠A'IJ=∠AIX,
故∠SAY=∠SAX,故∠YAB=∠XAC,故XY//EF,
故AK平分XY.
本题难度中等偏上,作为女子竞赛的第二题还是非常合适的,迄今为止北方竞赛和东南竞赛已经结束。感觉今年的竞赛题难度略有降低,在国家双减,严厉加强对教育机构管理的大形势下,数学竞赛题的难度稍有降低也是大势所趋、情理之中的事情。估计今年9.12日数学联赛题的难度应该还是继续保持近几年的风格,难度可能会略有降低。
此题题目新颖,结构优美。不过解法应该不多。南开大学的张峻铭也给出了他的解法,我的解法和他的大同小异,他在证明FI⊥AI时使用了根心定理,和我的同一法异曲同工。他还对本题做了推广,有兴趣的读者可以参考。
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