如何用数学思维想问题？

如果我问你：数学有用吗？你可能会想，学生时代学的知识已经忘得差不多了，工作以后还能用上数学的，应该是建筑设计师、财务会计或者基金经理吧？对于这些职业，数学是他们的工具，那对于我们这些跟数学八竿子打不着的职业，除了买菜，数学还能有什么用呢？

爱因斯坦有一句名言：教育是你忘掉在学校所学的一切之后剩下的东西。这剩下的东西是什么呢？其实呀，学数学就像吃饭，你过去吃了什么，你可能不记得了，但是它们中的一些长成了你身体的一部分；学数学也是一样，学了什么公式和定理你可能不记得了，但是它背后的思想会变成你灵魂的一部分。数学不仅是有用的知识工具，更是有用的思维工具。今天我要跟你讨论的问题是：如何用数学思维想问题？

我们先来定义一下这个问题的边界：

1.你每天需要处理大量具体、复杂的信息；

2.你希望能从这些信息中把握本质，理清头绪，发现规律。

我是一名数学教师，研究数学课程与教学已有10年。在这期间，我曾获得过全国教学的最高奖项，所带毕业班的中考数学成绩，优秀率达到史无前例的100%。你一定想知道，我是怎么教出成绩这么好的学生？但我更想告诉你的是，我带班的特点是，即便是期末考试前一天，体育课也不会变成数学，学校结课了，我就带他们去操场玩。可以说，我的学生考试成绩的投入产出比是最高的。在我看来，数学知识只是教育的载体，数学思维才是教育的目的。

你可能会问，为什么是你来讲这个问题呢？数学家不是比你更有资格吗？我想说，数学家往往沉浸在自己的世界里，甚至与现实生活格格不入。而我是那个把数学家的思想和普通人的生活联系起来的人。今天，我将不用任何艰深的概念和复杂的公式，为你交付用数学思维想问题的三个心法。

心法一：从具体到抽象

我们对世界的认识来自于观察。我们常说的“格物致知”，其实就是通过观察把事物按照相同属性分门别类，抽象以后就形成了概念。比如，这些是苹果，这些是梨，它们又都是水果，和这边的蔬菜不一样。

数学中有很多抽象的概念，光是初中阶段的数和式，就有这么多种，更别提各种图形了。

所以有人说，学数学就是在学概念，学概念就是在学分类。如果我今天给你讲这些，我估计你也听不下去。我们不妨来看一个更贴近生活的例子。

假设你是一名葡萄酒收藏家，你拥有几百瓶葡萄酒，现在，你想把它们分类整理，以下有三种整理方法，你觉得哪一种最合理呢？

第一种方法：按照酿酒年份排列。

第二种方法：按照产地排列。

第三种方法：按照葡萄品种排列。

你可以思考一下，给出你的答案。

如果你选择第一种方法，出于体面是可以理解的，有朋友来参观，你可以向他展示各种年份的葡萄酒，但是这种方法并不能给你带来什么有价值的信息。相对来说，第二种方法更合理，因为这种分类为你带来了一个重要的信息增量——葡萄酒的味道。那你可能会问，影响葡萄酒味道和口感的不只是产地呀，葡萄品种不也是很重要的因素吗？为什么不选第三种呢？因为它不符合分类原则。

我给你提供两个关于葡萄酒的信息，你就明白了：第一，有些葡萄酒是混合了多个葡萄品种酿造的，这使得同一瓶酒有可能会被分在不同的类别下；第二，我们不太可能收集到所有的葡萄品种。

这里体现了分类的原则，在数学中叫做“不重不漏”，在商业中叫做“MECE法则”，中文含义是“相互独立，完全穷尽”。

分类是从具体到抽象的第一步，它指导我们用数学的眼光观察世界。好的分类应该既能发现共同特征，又能带来信息增量。学数学，就是在用数学知识不断打磨你的数学思维。

心法二：从无序到有序

分类产生了比较的概念，比较又产生了相同和不同的概念。相同在数量关系上就是相等，我们对等号简直是再熟悉不过了。但是啊，你可别小看这个等号，数学的严谨性尽在于此。你可能会问，数学的严谨性不应该体现在逻辑推理吗？因为、所以的各种证明，在上学时可没少困扰我们。欧几里得的几何公理体系毫无疑问是将数学推向严谨的里程碑，但我们从小学开始就在不停地学习计算，它的每一步等号，同样都是推理的体现。每一步演算都是一个解决方案，不断把遇到的问题，向熟悉的、简单的方向转化。

生活中我们也经常需要用一步步的算法，帮助我们做出一连串的选择。我们来看一个例子。

员工A和员工B要在午休的一个小时内出去买午餐。两个人的预算都是50块钱以内，他们今天还都想吃肉。

员工A想：公司旁边的购物中心三层有很多美食，一直还没有机会去拔草，择日不如撞日，他就去了购物中心。到了三层发现，全都是高档餐厅，这点预算还不够点一个菜呢。即便是最便宜的汉堡套餐也已经超出了预算。来回找了半个小时，也没找到符合预算的餐厅。结果他只好抱怨了一句：“今天运气真差”，打消了吃肉的念头，在回公司路上的一家面包房里买了一块面包将就。

员工B一开始就决定到另一个方向的便利店买午餐，理由是只有便利店里的东西符合他的预算。结果他很快就在便利店里找到了一款40元的“特价牛排盖饭”。他在内心里高呼：“太幸运了！”时间上还相当充裕，因此他便心满意足地回到办公室，享用他的午餐。

B做出了合理的决定，真的是因为他运气好吗？其实，这是因为他的思维方式有逻辑性。

B一开始就选择了符合预算，也就是最外面那个集合。无论他怎么选择，当然他也可以不去便利店，而是另一家快餐厅，但都不会超出这个范围。而A选择了顺从心情，到了购物中心后才发现，很多东西都超出了预算，他需要花费时间注意价钱，最终还不一定能如愿吃到肉。推理的本质就是有顺序的思考，而思考的优先级取决于你的目的。很多人对学习数学都是不堪回首，但回到工作与生活中却要面对一个个更为繁琐的局面。所以，冯·诺依曼说：如果人们不相信数学是简单的，只是因为他们还没有体会到生活的复杂。

心法三：从经验到模型

各个领域都有其专业而广泛应用的模型，但对于外行来说却是不明觉厉。那究竟什么是模型呢？

每个人成长的过程中，都有自己的偶像。这个偶像其实就是一种模型。怎么讲呢？你看啊，你被偶像吸引，所以会去观察他的一举一动，观察他是如何对待和处理每一件事的。然后你开始思考，思考一些你没有看到的事，去推测他在那样的情况下会如何说话做事。接下来你开始模仿，模仿偶像的态度对待生活，这背后的逻辑是：我没看到你，但我根据规律猜测你会那样做。你模仿的不是一句话，一个动作，而是一种行为模式。这个行为模式就是一种模型思维。

数学中也有很多包含等号的公式和方程，从勾股定理到能量方程，也都是模型。它们都是人们解决问题的工具，但也许已经成为了你最熟悉的陌生人。但今天我想给你介绍一个数学史上的公案，那就是“0”的诞生。

0的意义在数学发展中举足轻重，也充满故事。在古巴比伦和玛雅文明，人们发明了一些符号来表示“没有”，或者干脆就留出空位。公元前3世纪，印度人发明了数字符号1-9，但依然用留空位的方式表示“没有”，这种经验持续了一千多年，印度人才发明了“·”这个符号，然后演化成了0，至此，0终于名正言顺地成为了数字。后来，到公元8世纪，印度数字传入阿拉伯国家，阿拉伯人又将其传入欧洲，在传播过程中推广了十进制，使得这种记数方式的价值被指数级放大。正是因为0的出现，才使得阿拉伯数字得以取代罗马数字，在古代、近代和现代科学的发展中担任极其重要的角色。

回顾0的诞生过程，人们对表示“没有”的经验从留空，到符号，再到记数和参与运算，这个经验不断被遵循、打破、丰富和重建。从没有到存在，见证了一个模型是如何随着人们的认知被不断完善，并运用到生活中。在温度中，我们用0℃表示一个确定的状态；在二进制中，我们用0和1表示电路的断开和闭合。这一切都起源于对“没有”的经验突破和再认识。用罗振宇老师的话说，承认没有，并定义这种状态，是伟大创新的源泉。

通过上面的例子，我们可以认为，模型就是经验的抽象集合。但是我们在复杂的现实世界中，面对问题只用单独的一个模型是很难解决的，这是因为所有的模型，都有自己的应用前提。一旦前提变了，模型就不管用了，这就是为什么我们在得到大学学习的每一个思维模型都需要定义问题边界。我们常说的工作和生活的智慧，其实是一种多模型思维。斯科特·佩奇在他的《模型思维》一书中是这样定义的：多模型思维是一种能够根据环境，抛弃固有经验，切换思考模型的能力。

就拿我们常见的正态分布和幂律分布来说，我们都知道人的身高遵循正态分布，而人的财富呈现幂律分布。问题是，当我们面对一个陌生的系统时，我们怎么判断，它到底是遵循正态分布，还是幂律分布？其实标准很简单，那就是看样本之间是否会互相影响。如果样本之间是相互独立的，比如身高，那它就遵循正态分布；而样本如果是相互关联的，比如财富，越有钱的人，就越能获得赚钱的机会，财富之间存在关联交易，它就会呈现出幂律分布。

通过上面的案例，我们可以总结出这样的模型：

经历和经验就像是数据和信息之间的关系，只有经历、没有经验是不够的，因为通过经验才能总结出规律，提炼模型，形成知识。而同时掌握很多模型，又能够根据环境切换模型，才是第一流智慧的体现。所以，在得到大学，我们不仅能够学到知识，在多元思维模型的加持下，更会启迪我们的智慧！

总结

我们来总结一下。从具体到抽象，这是一种抽象思想，从无序到有序，这是一种推理思想；从经验到模型，这是一种模型思想。抽象、推理、模型，也被称为数学的三大基本思想，它们完美诠释了数学的一般性、严谨性和应用性。

数学思维可以帮助我们成为什么样的人呢？我用三句话来总结：

从具体到抽象，帮助你在错综复杂的事物中把握本质；

从无序到有序，帮助你在杂乱无章的事物中理清头绪；

从经验到模型，帮助你在千头万绪的事物中发现规律。

数学是完美的，完美到抽离现实。圆只存在于数学中，生活中踏破铁鞋，也无法寻觅到如此完美的形状。数学的世界，是一个与我们的生活相平行的理想世界。

数学是极致的，极致到精准刻画。神话学大师约瑟夫·坎贝尔说：精准是对实力最狂妄的表达。数学是人类的精神导师，当我们身处于生活的不确定性时，在那个平行世界中，数学总能给你一个精准的答案。

我是白马老师，既是一名数学教育工作者，也是一名数学思维践行者。教有用的数学是我的使命，做思维的主人是我的愿景。感谢你的倾听，愿数学早日成为你的精神导师！