《趣味代数学》怎样付款

【题目】假如你在商场里看中了一件毛衣，价格是19卢布，而你的钱包中的钞票全部都是2卢布面值的。不巧的是，售货员的钞票又全部是5卢布面值的，你该怎样支付才能将这件毛衣买到手？

想要解出这道题，实际上是求出你该支付几张2卢布面值的钞票，而售货员又应该找给你几张5卢布面值的钞票，这道题中有两个未知数：

x——2卢布面值钞票的张数；y——5卢布面值钞票的张数。

但根据题目中给出的已知条件，这道题只能列出一个方程：

这个方程可以有无数组解，但从中找出一组符合题目要求的正整数解并非是一件轻而易举的事，而代数要找出方法来解开这种“不定方程”的原因也正在于此。由于这种方法是由古代著名数学家刁藩都引入代数中的，因此这种方程也被称为“刁藩都方程”。

【解题】我们借助本题来分析一下怎样解这种类型的方程。

由于本题所求的是钞票的张数，因此x和y都是正整数。方程式为：

我们将系数较小的未知数单独放在方程的一边：

去掉这个未知数的系数：

既然x、y都是整数，那么

也应该是整数。我们假设方程可写为：

，

由于

，则

，可推出y的表达式为：

代入方程：

现在我们将上面得到x的y与的表达式写在一起来分析：

可以确定的是，只要t的值为整数，x与y的值就一定是整数。根据题意我们已经知道，x与y的值不仅是整数，更是正整数，因此下面的不等式一定成立：

5t+7>0，2t-1>0

解这两个不等式可得：

可见能同时满足两个不等式的解是

，同时t必须是整数，因此t的值一定在下列数中：

1、2、3、4……

将这些数分别代入表达式，可以得到：

x=7+5t=12、17、22、27……；y=2t-1=1、3、5、7……

现在答案已经出现了，支付钞票的方式不止一种。

比如你可以支付12张2卢布面值的钞票，并由售货员找回1张5卢布面值的钞票给你：12×2-5=19；

或者支付17张2卢布的钞票，并由售货员找回3张5卢布面值的钞票给你：17×2-3×5=19，等等。

尽管根据这道题列出的方程有无数组解，但现实应用中可取的解还是有限的。因为对于售货员和顾客来说，每个人能够付出的钞票数都不是无限多的。假设每个人都只有15张钞票，那么支付的方法就只有一种，也就是付12张2卢布面值的钞票，找回1张5卢布面值的钞票。因此用这个不定方程解决实际问题时，其实它给出的只有几种固定的答案。

回顾一下分析这道题的过程，我建议读者朋友们还是亲自动手来做一做这一类型的题目，就当作是做做小练习也好。假如作为顾客的你随身带的只有5卢布面值的钞票，而售货员手中的钞票全部是3卢布面值的，要怎样支付这件毛衣的钱呢？你会得到这样的解：

x=5、7、9、11……，y=3、8、13、18……

检验一下就知道这些解是正确的：

5×5-2×3=19、7×5-8×2=19、9×5-13×2=19……

用简单的代数方法从本题的母题的解法中也可以得出正确的结果。支付5卢布面值的钞票并找回2卢布面值的钞票，相当于“支付负的2卢布面值的钞票，找回负的5卢布面值的钞票”。所以依然能使用它的母题方程：

，但已知条件改为x、y均为负数。

由于x＜0，y＜0，所以根据等式

可得到不等式：

解不等式可得：

所以t的取值为-2、-3、-4……

相对应的x与y的值为：

x=-3、-8、-13……，y=-5、-7、-9……

我们以第一组解为例，来描述一下正确的支付方式：

当方程的解为-3=x、=-5y时，正确的描述是：支付负3张面值为2卢布的钞票，找回负5张面值为5卢布的钞票。改为平常语言就是：支付5张面值为5卢布的钞票，找回3张面值为2卢布的钞票。

其他的解也可以用这种方式来进行描述。（俄.别莱利曼）