《趣味代数学》卖鸡蛋

法国作家司汤达在他的《自传》中提到了发生于他的学生时代的一件事，他写道：

“我从数学老师那里听说了欧拉，也见到了欧拉的那道农妇卖鸡蛋的问题……对于当时的我来说，这可是个重大发现，我发现了利用代数的奇妙之处。关键是在这之前居然从来没有人对我提起过这些，真是岂有此理……”

下面这道题出自欧拉的《代数入门》，是的，这就是让司汤达印象深刻的那道题。

【题目】两农妇结伴到集市上卖鸡蛋，两人一共带了100个。其中一人带得多，一人带得少些，但两人卖到的钱数是一样的。两个人闲聊的时候，第一个农妇说：“把你的鸡蛋给我，我能卖15个硬币呢。”第二个农妇说：“把你的鸡蛋给我，我只能卖到每人带了几个鸡蛋呢?

个硬币。”

【解题】假设其中一个农妇带了x个鸡蛋，那么另一个农妇就带了（100-x）个。根据第一个农妇所说，如果她有（100-x）个，就能卖出15个硬币，可以推出她定的价格是每个鸡蛋卖

个硬币。同样可知，另一个农妇定的价格是每个鸡蛋卖

个硬币。

我们已经可以分别列出两个表达式，用来表示两人卖鸡蛋所得的钱数：

根据题意可知，两位农妇卖得的钱数相等，可列出方程式：

解方程可得：

第二个解为负数解，在此可以忽略。本题的答案只有一个，即：第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个带了100-40=60个。

解这道题的方法不止这一种，我还想到了一种更巧妙也更简单的方法，只不过由于不常用，我们常常会想不起它来。

设第二个农妇所带的鸡蛋数量是第一个农妇的k倍，由于两个人卖得同样多的钱数，这说明第一个农妇为每个鸡蛋定的价格是第二个农妇所定价格的k倍。我们假设在开始出售之前两个人互相交换了手里的鸡蛋，那么第一个农妇手里的鸡蛋就是第二个农妇的k倍，售价也是第二个农妇的k倍。这意味着，她卖鸡蛋所得到的总钱数是第二个农妇的2k倍。因此：

接下来我们就把100个鸡蛋分成3:2的比例，答案很快就出现了：第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个农妇带了60个。（俄.别莱利曼）