《算术与几何的妙趣》不可能图形的定义

乍一看，一幅不可能图形所展现的好像是人们习以为常的三维物体。但仔细端详，便能看出其中的不可能性：任何对整幅图形的逻辑解释似乎都无法成立。不可能图形为我们的视觉系统设下了陷阱。

陷阱通常是这样的：图形的每一部分立即被我们的大脑理解为一个三维物体，只有从一部分看到另一部分，试图从整体协调不同部分时，图形中自相矛盾的地方才会显现。不同的图形有不同的矛盾之处：

两个远近不同的平面，本不该相交却相交了；

物体中的某一个平面，从不同角度观察，可以被认为是在上面或者在下面；

图画中的某一个区域，结合图画中不同部分，可以看成是空的或者满的；

两个平面相交的角，可以是“凹陷”或者“凸起”等。

同样令人惊讶的是，一切所谓的“不可能”图形都是可能的。为了证明这一点，我们提出一般性定理（参见“如何让它们变得可能？”），或者做出一些三维物体并对其拍照，以产生想要的图像。“一些不可能图形”中就有一系列例子。观察者认为来自图形本身的矛盾，其实源自思维所做出的简单假设，而这些假设又将思维带进了理解上的死胡同。

2. 如何让它们变得可能？

“可不可以让不合逻辑的图形变得可能？”有一个简单的答案：用铁丝做出结构，每条线段用一根铁丝！也有更好的方法，下面的定理指出对于很多轮廓图画（包括不可能图形），我们可以找出与之对应的多面体来呈现其图像。

定理：对任何由直线段组成并可分割成多边形集合的图形F，存在一系列多面体P₁,…, P_n和方向D，使得多面体P₁,…, P_n沿平行于D方向在与D垂直的平面上的投影为图形F。

换句话说，从无穷远的地方沿着D方向观察P₁,…, P_n，可以看到图形F。该定理对潘洛斯三角形和大部分相关物体都适用。它也可以推广到包含曲线的图，或用来研究其他类型的透视法。

该定理的证明很简单。假设图形 F(a) 可以分解成互不重合（某些线段在分解时可重复出现两次）的多边形 A₁,…, A_n 的拼接(b)。对分解的每一个多边形 A_i 生成一个多面体 P_i (c)，使多面体两个形状为 A_i 的面垂直于 D 方向，并通过每一个顶点将两个面彼此相连（即：P_i 是底面为 A_i 的柱体）。从远处沿着 D 方向看(d)，多面体 P_i 呈现图像 A_i 。对与 A_i 相对应的不同多面体取不同的高度（使其每一条边都不会在多面体合并时消失），就得到了要找的多面体集合(e)。但我们注意到，该定理对不可能图形 3g 和 3j 不适用，因为它们的轮廓图不能被分解成一系列多边形。

3. 一些不可能图形

在大多数情况下，这些假设，例如“物体的限定面一定是平的”或“在图画中看起来是直的，在空间中就一定是一条直线”，可以使人快速并正确地理解现实世界的图像。但在观察不可能图形时，这些假设会引起大脑对面积和体积相对布局的想象，反而使图画的各部分之间无法匹配。被蒙蔽的视觉系统难以摆脱自己设下的局部理解，种种疑惑就会令视觉系统得出看似矛盾的结论。于是，思维开始原地打转，徒劳地寻找着对图像的整体理解——合理的阐释虽然存在，却永远找不到。（让·保罗·德拉耶）