《自然哲学的数学原理》命题LXIV 问题XL

力，由它诸物体相互牵引，按照离中心的距离的简单的比增加：需求多个物体彼此之间的运动。

首先假设两个物体T和L有一个重力的公共的中心D。这些物体（由定理XXI系理一）画出中心在D的椭圆，它们的大小由问题V可知。

现在第三个物体S以加速力ST，SL牵引前两个物体T和L，且反过来被它们牵引。力ST（由诸定律的系理II）分解为力SD，DT；且力SL分解为力SD，DL。现在力DT，DL，如同它们的和TL，因此如同加速力，由于它们物体T和L彼此相互牵引，增加到物体T和L的力上，前者对前者且后者对后者，合成的力与距离DT和DL成比例，如同前面，但较前面的那些力大；且因此（由命题X系理1和命题IV系理1和系理8）使那些物体画出的椭圆同前，但运动更迅速。剩余的加速力SD和SD，以如同物体引起运动的作用SD×T和SD×L沿与DS平行的直线TI，LK同等地牵引那些物体，一点也不改变它们相互的位置，但使它们同等地靠近直线IK；它是想象中过物体S的中间所引的与直线DS垂直的直线。但对直线IK的靠近由引起的系统中的物体T和L为一部分，物体S为另一部分，以适当的速度围绕重力的公共的中心C运行所阻碍。以如此的运动，物体S，因为引起运动的力SD×T与SD×L的和与距离CS成比例，趋向中心C，围绕同一个中心C画出一个椭圆；且点D，由于CS，CD成比例，正对着（e regione）画出相似的椭圆。但是物体T和L受到沿平行线TI和LK的引起运动的力SD×T和SD×L的同等吸引，前者对前者，后者对后者，正如已说过的，它们（由诸定律的系理5和系理6）继续围绕运动的中心D画出它们自己的椭圆，如同前面。此即所求。

现在加入第四个物体V，并由类似的论证推出这个物体和点C围绕所有物体的重力的公共的中心B画出椭圆；物体T，L和S围绕中心D和C的原有运动被保持，但被加速。且由同样的方法能随意加入更多的物体。此即所求。

事情本身如此，即使物体T和L相互牵引的加速力大于或者小于它们牵引其他物体的按照距离之比的力。令所有相互的加速力彼此之比如同距离乘以牵引物体，则由前述的容易导出，所有物体在相等的循环时间，围绕所有物体的重力的公共的中心B，在不动的平面上画出不同的椭圆。此即所求。（英.牛顿）