我们已经知道，亚里士多德模态逻辑中的第二个巨大困难是与他关于某些偶然命题为真这个假设有关。根据断定命题52（它是我们的公理51的变形）
52. CKδpδNpδq，
我们得出下述结果：
52.δ/M，p/α，q/p×78
78. CKMαMNαMp
78. C*79—*7
*79. KMαMNα
这表示：表达式79对于任一命题α，都是被排斥的，因为α在这里是一个“解释变项”。因而，不存在这样的α，它能验证两个命题“α是可能的”和“非α是可能的”，也就是说，不存在真的偶然命题Tα，如果Tp是像亚里士多德所作的那样，定义为Mp和MNp的合取，即
80. CδKMpMNpδTp.
这个结果用真值表的方法得到证实。采用Kpq的通常定义：
81. CδNCpNqδKpq，
我们得出关于K的真值表M14，并且我们有：
当p＝1：KMpMNp＝KM1MN1＝K1M0＝K13＝3
当p＝2：KMpMNp＝KM2MN2＝K1M3＝K13＝3
当p＝3：KMpMNp＝KM3MN3＝K3M2＝K31＝3
当p＝0：KMpMNp＝KM0MN0＝K3M1＝K31＝3.
我们看到，合取式KMpMNp具有恒值3，因而永远都不是真的。因此，Tp＝3，也就是说，不存在在定义80所指意义上的真的偶然命题。
然而，亚里士多德认为“明天可能发生海战”和“明天可能不发生海战”两个命题今天可以都是真的。因此，按照他的偶然性观点，是可以有真的偶然命题的。
有两个方法可以避免亚里士多德的观点和我们的模态逻辑系统之间的这种矛盾：我们应当或者否定命题可以同时既是偶然的又是真的，或者修改亚里士多德的偶然性定义。我选择了第二个方法，使用了上面所揭示的可能性成对的形态。
抛掷一个钱币，可以落下或者钱币的正面或者钱币的反面，换句话说，可能落下正面，也可能不落下正面。我们倾向于将两个命题都看作是真的。但是，如果第一个“可能性”用与第二个可能性相同的函子去标志的话，它们就不能两个都真。第一个可能性是与第二个可能性完全相同的，但是，从这里不应得出，它就应该用同样的方式去标志。落下正面的可能性与不落下正面的可能性是有区别的。我们可以用M标志一个可能性，而用W标志另一个可能性。带有肯定主目的命题“p是可能的”可以表达为Mp；带有否定主目的命题“非p是可能的”可以表达为WNp；或者第一个作为Wp，第二个作为MNp。这样，我们就获得两个偶然性函子，譬如说是X和Υ，它们的定义如下：
82.CδKMpWNpδXp 和 83.CδKWpMNpδΥp.
不可能将这些定义译成日常的语言，因为我们没有两类可能性和偶然性的名称。我们就将它们称为“M-可能的”和“W-可能的”，“X-偶然的”和“Υ-偶然的”。这样，我们就可以概略地说：“p是X-偶然的”表示“p是M-可能的并且Np是W-可能的”，而“p是Υ-偶然的”表示“p是W-可能的并且Np是M-可能的”。
从定义82和83，我们可以推出X和Υ的真值表。我们得出：
当p＝1：
X1＝KM1WN1＝K1W0＝K12＝2；
Υ1＝KW1MN1＝K1M0＝K13＝3.
当p＝2：
X2＝KM2WN2＝K1W3＝K11＝1；
Υ2＝KW2MN2＝K2M3＝K23＝0.
当p＝3：
X3＝KM3WN3＝K3W2＝K32＝0；
Υ3＝KW3MN3＝K1M2＝K11＝1.
当p＝0：
X0＝KM0WN0＝K3W1＝K31＝3；
Υ0＝KW0MN0＝K2M1＝K21＝2.
真值表M15表明，不论是Xp还是Υp，对于p的某些值证明是真的（Xp，当p＝2；Υp，当p＝3）。现在已经证明，KMpMNp具有恒值3；同样可以表明，KWpWNp具有恒值2。这样，我们就得到两个断定的公式：
84. XKWpWNp 和 85.ΥKMpMNp.
这表明在我们的系统中存在真的X-偶然命题和真的Υ-偶然命题。我们就可以将在亚里士多德意义上的偶然性和我们的四值模态逻辑协调起来。
从M15也得出，X-偶然性和Υ-偶然性是孪生子。如果我们在M15中用3代替2，用2代替3，那么，X就变成Υ，而Υ变成X。然而，X跟Υ是有区别的，其区别程度比M和W的区别更大，因为命题Xp和Υp是相互矛盾的。容易看到，借助于M15，下述等式是成立的：
（γ）Xp＝ΥNp＝NΥp 和 （δ）Υp＝XNp＝NXp.
矛盾律和排中律对Xp和Υp都是真的，也就是说，我们有：
86.NKXpΥp 和 87.HXpΥp.
这表示，一个命题不能同时既是X-偶然的又是Υ-偶然的，而任何命题或者是X-偶然的，或者是Υ-偶然的。X-偶然命题的否定是Υ-偶然命题，反过来，Υ-偶然命题的否定是X-偶然命题。这听起来好像是自相矛盾的，因为我们习惯于认为：那种非偶然的东西，或者是不可能的，或者是必然的，不可能和必然是与同一种可能性发生联系的。但是，非X-偶然的，或者是M-不可能的，或者是M-必然的，这种说法是不正确的；应该说，那种非X-偶然的东西，或者是M-不可能的，或者是W-必然的，而那种或者M-不可能，或者W-必然的东西是与Υ-偶然的东西等值的。
同样的误解是由于围绕断定命题88进行的争论而引起的，
88.CKMpMqMKpq，
它在我们系统中是被断定的。刘易士（C.I.Lewis）在他某些模态系统中断定了公式：
89.CMKpqKMpMq，
但是拒绝了它的逆换式，即88式。他使用了下述论证 [6] ：“如果p和q两个都真，是可能的，那么，p是可能的并且q是可能的。这个蕴涵式不能逆换过来。例如，可能读者将立即看到它，也可能他不立即看到它。但是，不可能他既立即看到它又不立即看到它。”这个论证是缺少说服力的。这里“读者”指的是什么呢？如果指的是个别读者，如R，那么，或者R将立即看到这个，或者R将不立即看到这个。在前一种情况下，第一个前提“可能R立即看到这个”是真的，但第二个前提是假的，而一个假的命题怎样可以成为可能真的命题呢？在后一种情况下，第二个前提是真的，而第一个前提是假的，而一个假的命题不能成为可能真的命题。公式88中的两个前提并不是两个都可证明的，因而用这种方式是不能驳斥这个公式的。
而如果“读者”一词指的是某些读者，那么，“可能某些读者将立即看到这个”和“可能某些读者将不立即看到这个”这两个前提可以都是真的，但是，在这种情况下，“可能某些读者将立即看到这个并且某些读者将不立即看到这个”这个结论显然也是真的。自然，将立即看到这个并且不看到这个的不会是同一读者。刘易士所提出的例子并没有驳斥掉公式88，相反，它还证明了它的正确性。
但是，看来这个例子是选择得不适当的。前提增加了“立即”一词，就丧失了它的偶然的性质。说读者将“立即”看到或者不看到这个，我们涉及的是那在看见的时刻被决定的东西。而真的偶然性涉及的是未决定的事件。让我们就举钱币的例子，它与亚里士多德的海战的例子是同一类的。两个例子都是关系到现在没有决定但将来要决定的事件。所以，“可能落下钱币的正面”和“可能不落下钱币的正面”这两个前提现在可以都是真的，而“可能落下又不落下钱币的正面”这个结论任何时候都不是真的。但是，我们知道，偶然性不能用Mp和MNp的合取来下定义，但可以用Mp和WNp，或者Wp和MNp的合取来下定义，因此，上面引述的例子就不属于断定命题88。所以，它不能否证它。这一点是为刘易士和其他逻辑学家所不知道的，而在一个错误的偶然性概念的基础上，他们就排斥了所讨论的断定命题。（卢卡西维茨）
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