3法文“质数”（nombres premiers）字面上有“第一数”的意思。——译者注
公元前 3 世纪希腊数学家埃拉托斯特尼发明了名为“埃拉托斯特尼筛法”的质数计算方法，即质数的算法定义。其原理分成三个步骤。
A. 考虑大于 1 的整数。其中“第一个”，按照定义，就是“第一数”（质数）。
B. 然后将不能被已经找出的“第一数”（质数）整除且大于已经找出的“第一数”（质数）的“第一个”整数称为“第一数”（质数）。
C. 只要可能，重复之前的运算。这样，就定义了“第一数”（质数）数列。
取所有大于 1 的整数：
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, …
用
根据 B，数字 3（2 之后第一个还是黑色的数字）是一个质数。将 3 用蓝色标出，将未标红的 3 的倍数用红色标出。
还是根据 B，数字 5（3 之后第一个还是黑色的数字）是一个质数，将它用蓝色标出，并将未标红的 5 的倍数用红色标出。
依次类推，我们得到蓝色的质数列表。
实际当中，如果我们想找出一直到 N 的质数，只需要将蓝色标记进行到 N 的平方根，因为到时候所有不是红色的数字都是质数。这是因为，如果一个整数是合数，N=a.b，且 a>1，b>1，则 a 和 b 至少有一个小于等于 N 的平方根。今天人们依然使用埃拉托斯特尼筛法来寻找完整的质数列表。
2. 第二数、第三数、第四数……
质数
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127,131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191,193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257,263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331,337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401,409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467,479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563,569, 571, 5769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827,829, 839, 853, …
第二数
3, 5, 8, 13, 17, 22, 28, 31, 38, 43, 47, 53, 59, 67, 73, 77, 82,89, 97, 101, 107, 113, 121, 127, 133, 139, 148, 151, 158,163, 167, 179, 191, 197, 203, 209, 218, 227, 233, 241, 251,257, 262, 269, 274, 281, 284, 293, 307, 313, 317, 322, 332,343, 347, 353, 361, 367, 379, 386, 397, 401, 409, 419, 422,431, 437, 443, 449, 457, 461, 467, 479, 491, 499, 509, 521,526, 541, 547, 553, 557, 566, 571, 581, 7, 587, 593, 599,601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661,673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751,757, 761, 7593, 599, 607, 617, 622, 631, 643, 653, 661, 667,673, 677, 691, 698, 703, 718, 721, 727, 739, 746, 757, 763,769, 778, 781, 796, 809, 821, 827, 839, 842, 853, 857, 863,869, 878, 883, 892, 911, 916, 919, 929, 941, 947, 956, 967,974, 983, 994, 1006, 1013, 1021, 1033, 1043, 1049, 1058,1063, 1073, 1087, 1093, 1099, 1108, 1117, 1126, 1129, …
第三数
4, 7, 11, 17, 23, 27, 31, 39, 45, 53, 59, 67, 74, 82, 87, 95,103, 111, 122, 127, 131, 141, 146, 151, 163, 169, 178, 183,193, 199, 211, 215, 223, 229, 237, 247, 251, 263, 271, 278,290, 298, 307, 314, 325, 334, 342, 349, 358, 362, 369, 377,383, 394, 401, 415, 421, 433, 445, 454, 463, 470, 479, 485,498, 503, 514, 523, 537, 543, 551, 559, 565, 571, 582, 591,601, 611, 617, 625, 634, 642, 653, 659, 673, 678, 685, 695,703, 710, 719, 725, 734, 745, 750, 758, 771, 778, 787, 794,807, 817, 822, 829, 838, 843, 857, 863, 877, 881, 887, 898,909, 919, 925, 934, 941, 951, 963, 974, 982, 991, 998,1011, 1018, 1025, 1033, 1041, 1051, 1063, 1070, 1079,1087, 1093, 1097, 1109, 1119, 1129, 1138, …
第四数
5, 9, 14, 21, 26, 33, 39, 46, 51, 59, 67, 73, 79, 87, 93, 101,109, 116, 123, 129, 137, 143, 152, 163, 169, 178, 187, 193,203, 212, 221, 227, 239, 247, 253, 259, 269, 278, 284, 293,301, 311, 318, 328, 334, 343, 349, 359, 367, 377, 383, 391,398, 409, 419, 427, 437, 446, 452, 461, 471, 482, 491, 498,503, 514, 523, 529, 541, 547, 559, 566, 577, 583, 592, 599,611, 618, 628, 634, 642, 653, 664, 673, 679, 688, 694, 703, 713, 722, 731, 743, 752, 761, 769, 778, 787, 793, 802, 814,824, 833, 842, 849, 857, 866, 883, 889, 899, 907, 916, 923,932, 941, 951, 967, 974, 983, 992, 1004, 1013, 1021, 1034,1041, 1049, 1057, 1067, 1079, 1086, 1093, 1103, 1117,1126, 1133, 1146, 1156, 1164, 1174, 1182, 1191, 1202,1211, 1219, 1229, 1238, 1252, 1261, 1267, 1282, 1291,…
几年前，艾力克·安吉利尼提出按照几千年的 A-B-C 定义把“第一”这个词替换成“第二”或“第三”，等等。质数的基本定义被延伸，引出了第二数、第三数等定义。奇怪的是，这些定义在 2006 年以前似乎从未有人提及！
我们来看看第二数，其定义由埃拉托斯特尼筛法的推广给出：
A. 考虑大于 1 的整数。其中“第二个”，按照定义，就是“第二数”；
B. 然后将不能被已经找出的“第二数”整除且大于已经找出的“第二数”的“第二个”整数称为“第二数”；
C. 只要可能，重复之前的运算。这就定义了“第二数”数列。
一开始取所有大于 1 的整数：
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, …
用蓝色标出这些数的第二个数“3”，它将是最小第二数。用红色标出其他 3 的倍数，将不能作为第二数。
3 之后第二个未标红的数字是 5，按照定义，是一个第二数。将 5 用蓝色标出，将未标红的 5 的倍数用红色标出。
5 之后第二个未标红的数字是 8，按照定义，是一个第二数，将 8 用蓝色标出，并将未标红的 8 的倍数用红色标出。
我们就这样得到蓝色的第二数列表。
因其构造方法，两个连续第二数之间有一个依然是黑色的数字。我们注意到，该定义不保证这个过程可以无限继续下去。一旦计算过程中最后一个蓝色数字之后的数字都已标红，就可能无法继续进行了：于是我们将可能只得到有限个第二数。我们之后将回头再看这个问题。
“第二数、第三数、第四数……”给出了一直到 1000（还多一些）的第二数。内尔·斯隆的数列百科全书（http://oeis.org）已将该数列收录，编号为 A123929。
复制规则 A-B-C，将其中的“第一”换成“第三”就是“第三数”的定义，由相同的蓝、红、黑整数标记方法得出，两个蓝色的第三数之间恰好有两个依然是黑色的数字。同一框内文字也给出了第三数、第四数、第五数列表的开头部分。
当然，尽管这些数列看起来是质数列简单、明了的推广，但它们似乎并不像质数列那样具有基础性地位，而质数列则是整个算术的核心，并对整个数学科学具有重大意义。
首先，质数列可以用很多种不同的方法定义，比如说，质数是一个大于 1 且只能被 1 和它本身整除的数字。而对第二数（或者第三数等），我们只知道艾力克·安吉利尼推广埃拉托斯特尼筛的定义。也许其他的第二数（或第三数等）的定义是存在的，但今天尚无人知晓。
将一个重要而古老的数学概念加以延伸是一件有趣的事情。众多问题由此萌发，其中最基本的当然是“无穷性”问题。自欧几里得开始，质数的无穷性已是众人皆知的事实，并且已被证明。这对第二数（第三数等）也成立，因为这是质数无穷性的推论。（让·保罗·德拉耶）
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