12345模型
结论:若α、β两个锐角满足tanα=1/2,tanβ=1/3,则α+β=45°。
推导:用三角恒等变换公式tan(A+B)=tanA+tanB/1-tanA*tanB;
将tanα=1/2,tanβ=1/3代入,
tan(α+β)=(1/2+1/3)/(1-1/2*1/3)=1,
∴α+β=45°。
例题:
设∠PAB=α,∠PBA=β;
延长AP到点C,(如图)
tanα=1/2,tanβ=1/3,
∴α+β=∠CPB=45°。
例题2:
连接AE
易得▲ABG≌▲AFG、▲ADE≌▲AFE(HL);
设∠BAG=∠FAG=α;∠FAE=∠DAE=β;
∴AF=AB=AD=6;
∵G为BC中点
∴BG=GC=3;
∴tanα=1/2;
∵α+β=90°/2=45°,
∴tanβ=1/3(12345模型);
∴DE=tanβ*AD=1/3*6=2。
//此题用“万能”的勾股也可求出。
例题3:
过点B作BH∥x轴,过C作CH⊥BH;
由12345模型可得
tan∠CBH=1/3;
∵CH=1;
∴BH=3;
∴C(3,0),
B(0,-1);
设lBC:y=kx+b;
将BC坐标代入解得
y=1/3x-1;
例题4:
(1)根号2(没啥可讲的……)
(2)12
最后一道:
过点B作BH⊥CD与H,(以下进行简记)
Rt▲BHO,∠BAT=α,tanα=1/2;
∠BOH=α+45°;
∠OBH=90°-(α-45°)=45°-α=β;
∴tan∠BOD=tanβ=1/3;
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