1、 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点
2、 能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。
3、 变速变道问题的关键是如何处理“变”
变速变道问题属于行程中的综合题,用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。对于这种分段变速问题,利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。
算术方法对于运动过程的把握非常细致,但必须一步一步来;
折线图则显得非常直观,每一次相遇点的位置也易于确定;
方程的优点在于无需考虑得非常仔细,只需要知道变速点就可以列出等量关系式,把大量的推理过程转化成了计算.
行程问题常用的解题方法有
⑴公式法
即根据常用的行程问题的公式进行求解,这种方法看似简单,其实也有很多技巧,使用公式不仅包括公式的原形,也包括公式的各种变形形式;有时条件不是直接给出的,这就需要对公式非常熟悉,可以推知需要的条件;
⑵图示法
在一些复杂的行程问题中,为了明确过程,常用示意图作为辅助工具.示意图包括线段图和折线图.图示法即画出行程的大概过程,重点在折返、相遇、追及的地点.另外在多次相遇、追及问题中,画图分析往往也是最有效的解题方法;
⑶比例法
行程问题中有很多比例关系,在只知道和差、比例时,用比例法可求得具体数值.更重要的是,在一些较复杂的题目中,有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的,在没有具体数值的情况下,只能用比例解题;
⑷分段法
在非匀速即分段变速的行程问题中,公式不能直接适用.这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段,在每一段中用匀速问题的方法去分析,然后再把结果结合起来;
⑸方程法
在关系复杂、条件分散的题目中,直接用公式或比例都很难求解时,设条件关系最多的未知量为未知数,抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解.
【例 1】 小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走 52 米,小强每分走 70 米,二人在途中的 A 处相遇。若小红提前 4 分出发,且速度不变,小强每分走 90 米,则两人仍在 A 处相遇。小红和小强两人的家相距多少米?
【例 2】 甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步,两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2 米/秒,乙比原来速度减少 2 米/秒,结果都用 24 秒同时回到原地。求甲原来的速度。
【例 3】 A、 B 两地相距 7200 米,甲、乙分别从 A, B 两地同时出发,结果在距 B 地 2400 米处相遇.如果乙的速度提高到原来的 3倍,那么两人可提前10分钟相遇,则甲的速度是每分钟行多少米?
【例 4】 甲、乙两车分别从 A, B 两地同时出发相向而行,6 小时后相遇在 C 点.如果甲车速度不变,乙车每小时多行 5 千米,且两车还从 A, B 两地同时出发相向而行,则相遇地点距 C 点 12 千米;如果乙车速度不变,甲车速度每小时多行 5 千米,则相遇地点距 C 点 16 千米.甲车原来每小时行多少千米?
【巩固】甲、乙二人分别从A、B 两地同时出发相向而行,5 小时后相遇在 C 点。如果甲速度不变,乙每小时多行 4 千米,且甲、乙还从 A、B 两地同时出发相向而行,则相遇点 D 距 C 点 lO 千米;如果乙速度不变,甲每小时多行 3 千米,且甲、乙还从 A、B 两地同时出发相向而行,则相遇点 E距 C 点 5 千米。问:甲原来的速度是每小时多少千米?
【例 5】 A、 B 两地间有一座桥(桥的长度忽略不计),甲、乙二人分别从两地同时出发,3 小时后在桥上相遇.如果甲加快速度,每小时多走 2 千米,而乙提前 0.5 小时出发,则仍能恰在桥上相遇.如果甲延迟 0.5 小时出发,乙每小时少走 2 千米,还会在桥上相遇.则 A、 B 两地相距多少千米?
【例 6】 一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时,然后以原速的3/4前进,最终到达目的地晚1.5 小时.若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时,然后同样以原速的3/4前进,则到达目的地仅晚1 小时,那么整个路程为多少公里?
【例 7】 王叔叔开车从北京到上海,从开始出发,车速即比原计划的速度提高了1/9,结果提前一个半小时到达;返回时,按原计划的速度行驶 280 千米后,将车速提高1/6,于是提前1 小时 40 分到达北京.北京、上海两市间的路程是多少千米?
【例 8】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山,他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍,而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时,甲与乙在离山顶 600 米处相遇,当乙到达山顶时,甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时?
【例 9】 小华以每小时8/3千米的速度登山,走到途中 A点后,他将速度改为每小时 2千米,在接下来的1小时中,他走到山顶,又立即下山,并走到 A点上方 500米的地方.如果他下山的速度是每小时 4千米,下山比上山少用了 52.5分钟.那么,他往返共走了多少千米?
【例 10】甲、乙两车从 A、 B 两地同时出发相向而行,5 小时相遇;如果乙车提前 1 小时出发,则差 13千米到中点时与甲车相遇,如果甲车提前 1 小时出发,则过中点 37 千米后与乙车相遇,那么甲车与乙车的速度差等于多少千米/小时?
【例 11】甲、乙两名运动员在周长
【例 12】环形场地的周长为
【例 13】王刚骑自行车从家到学校去,平常只用20分钟。因途中有2千米正在修路,只好推车步行,步行速度只有骑车速度的
【例 14】甲、乙两车分别从
【例 15】甲、乙往返于相距
【例 16】一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地,小轿车到达乙地后立即返回,返回时速度提高
【例 17】甲、乙两地间平路占
【例 18】甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特殊训练:他们同时从同一地出发,沿相反方向跑,每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈,跑第一圈时,乙的速度是甲的速度的
【例 19】甲、乙两人沿
【巩固】从
【例 20】欢欢和贝贝是同班同学,并且住在同一栋楼里.早晨
【例 21】甲、乙两人都要从
【例 22】小芳从家到学校有两条一样长的路,一条是平路,另一条是一半上坡路,一半下坡路.小芳上学走这两条路所用的时间一样多.已知下坡的速度是平路的
【例 23】赵伯伯为锻炼身体,每天步行3小时,他先走平路,然后上山,最后又沿原路返回。假设赵伯伯在平路上每小时行4千米,上山每小时行3千米,下山每小时行6千米,在每天锻炼中,他共行走多少米?
【例 24】王老师每天早上晨练,他第一天跑步1000米,散步1600米,共用25分钟;第二天跑步2000米,散步800米,共用20分钟。假设王老师跑步的速度和散步的速度均保持不变。求:(1)王老师跑步的速度; (2)王老师散步800米所用的时间。
【例 25】某校在400米环形跑道上进行1万米比赛,甲、乙两名运动员同时起跑后,乙的速度始终保持不变,开始时甲比乙慢,在第15分钟时甲加快速度,并保持这个速度不变,在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙。在第23分钟时甲再次追上乙,而在23分50秒时甲到达终点。那么,乙跑完全程所用的时间是多少分钟?
【例 26】甲、乙两人同时同地同向出发,沿环形跑道匀速跑步.如果出发时乙的速度是甲的
【例 27】如图所示,甲、乙两人从长为
【例 28】丁丁和乐乐各拿了一辆玩具甲虫在400米跑道上进行比赛,丁丁的玩具甲虫每分钟跑30米,乐乐的玩具甲虫每分钟跑20米,但乐乐带了一个神秘遥控器,按第一次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的
【例 29】唐老鸭和米老鼠进行5000米赛跑.米老鼠的速度是每分钟125米,唐老鸭的速度是每分钟100米.唐老鸭有一种能使米老鼠停止或减速的遥控器,每次使用都能使米老鼠进入“麻痹”状态1分钟,1分钟后米老鼠就会恢复正常,遥控器需要1分钟恢复能量才能再使用.米老鼠对“麻痹”状态也在逐渐适应,第1次进入“麻痹”状态时,米老鼠会完全停止,米老鼠第2次进入“麻痹”状态时,就会有原速度
【例 30】小周开车前往某会议中心,出发20分钟后,因为交通堵塞,中途延误了20分钟,为了按时到达会议中心,小周将车速提高了
【例 31】如图,甲、乙分别从
【例 32】甲、乙两车分别从
【例 33】上午8点整,甲从
【例 34】甲、乙往返于相距
【例 35】汽车从甲地到乙地,先行上坡,后行下坡,共用
【例 36】如图所示,有
【巩固】从甲市到乙市有一条公路,它分成三段.在第一段上,汽车速度是每小时40千米;在第二段上,汽车速度是每小时90千米;在第三段上,汽车速度是每小时50千米.己知第一段公路的长恰好是第三段的2倍,现有两汽车分别从甲、乙两市同时出发,相向而行,1小时20分后,在第二段从甲到乙方向的
【例 37】现在甲乙两辆车往返于相距20千米的
【例 38】甲、乙两地相距100千米,小张先骑摩托车从甲地出发,1小时后小李驾驶汽车从甲地出发,两人同时到达乙地.摩托车开始速度是每小时50千米,中途减速后为每小时40千米.汽车速度是每小时80千米,汽车曾在途中停驶1O分钟.那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的多少小时?
【例 39】甲、乙两人在400米圆形跑道上进行10000米比赛.两人从起点同时同向出发,开始时甲的速度为每秒8米,乙的速度为每秒6米.当甲每次追上乙以后,甲的速度每秒减少2米,乙的速度每秒减少0.5米.这样下去,直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始,两人都把自己的速度每秒增加O.5米,直到终点.那么领先者到达终点时,另一人距终点多少米?
【例 40】如图21-l,A至B是下坡,B至C是平路,C至D是上坡.小张和小王在上坡时步行速度是每小时4千米,平路时步行速度是每小时5千米,下坡时步行速度是每小时6千米.小张和小王分别从A和D同时出发,1小时后两人在E点相遇.已知E在BC上,并且E至C的距离是B至C距离的
【例 41】老王开汽车从A到B为平地(见右上图),车速是30千米/时;从B到C为上山路,车速是22.5千米/时;从C到D为下山路,车速是36千米/时。已知下山路是上山路的2倍,从A到D全程为72千米,老王开车从A到D共需要多少时间?
【例 42】张明的家离学校 4千米,他每天早晨骑自行车上学,以20千米/时的速度行进,恰好准时到校。一天早晨,因为逆风,他提前0.2时出发,以10千米/时的速度骑行,行至离学校2.4千米处遇到李强,他俩互相鼓励,加快了骑车的速度,结果比平常提前5分24秒到校。他遇到李强后每时骑行多少千米?
【例 43】甲、乙二人同时从起点出发沿同一方向行走,甲每时行5千米,而乙第1时行1千米,第2时行2千米,以后每时都比前1时多行1千米。问:经过多长时间乙追上甲?
【例 44】甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山。他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山顶时,乙距山顶还有400米;甲回到山脚时,乙刚好下到半山腰。求从山脚到山顶的距离。
【例 45】甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山。他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍。开始后1时,甲与乙在离山顶400米处相遇,当甲回到山脚时,乙刚好下到半山腰。问:乙比甲晚多少时间回到山脚?
【例 46】甲、乙两地相距6720米,某人从甲地步行去乙地,前一半时间平均每分钟行80米,后一半时间平均每分钟行60米.问他走后一半路程用了多少分钟?
【巩固】甲、乙两地相距6千米,某人从甲地步行去乙地,前一半时间平均每分钟行80米,后一半时间平均每分钟行70米.问他走后一半路程用了多少分钟?
【例 47】游乐场的溜冰滑道如下图。溜冰车上坡每分行400米,下坡每分行600米。已知从A点到B点需3.7分,从B点到A点只需2.5分。问:AC比BC长多少米?
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