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专题01 中考数学初中数学复习考点精讲热考题型专项训练有理数(解析版)

专题01 有理数

【思维导图】

【知识要点】

知识点一 有理数基础概念

n 有理数(概念理解)

正数:大于0的数叫做正数。

负数:正数前面加上符号“-”的数叫负数。

有理数的分类(两种)(见思维导图)

n 数轴  

规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴

ü 数轴的三要素:原点正方向单位长度(重点)

任何有理数都可以用数轴上的点表示。

ü 数轴上的点表示的数从左到右依次增大;原点左边的数是负数,原点右边的数是正数.

【注意】

1. 数轴是一条直线,可向两段无限延伸。

2. 在数轴上原点,正方向,单位长度的选取需根据实际情况而定。

n 相反数

只有符号不同两个数叫做互为相反数.(绝对值相等,符号不同的两个数叫做互为相反数)

n 绝对值

绝对值的概念:一班数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值。

绝对值的意义

正数的绝对值是它本身;

负数的绝对值是它的相反数;

0的绝对值是0。

(互为相反数的两个数的绝对值相等。)

n 比较大小

1)数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。

2)正数大于0,负数小于0,正数大于负数。

3)两个负数比较,绝对值大的反而小。

4)两个正数比较,绝对值大的反而

常用方法:数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。

知识点二 有理数四则运算

n 有理数的加法(重点

有理数的加法法则:(先确定符号,再算绝对值

1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;

2.异号两数相加,绝对值不相等时,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;

3.互为相反数的两个数相加得0;(如果两个数的和为0,那么这两个数互为相反数)

4.一个数同0相加,仍得这个数。

有理数的加法运算律

加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变。

加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。

n 有理数的减法

有理数的减法法则

减去一个数等于加上这个数的相反数。即

注:两个变化:减号变成加号;减数变成它的相反数。

n 有理数的加减混合运算

规则:运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算

步骤:(1)减法化加法;

 (2)省略括号和加号;

    (3)运用加法运算律使计算简便;

 (4)运用有理数加法法则进行计算。

 注:运用加法运算律时,可按如下几点进行:

(1)同号的先结合;

(2)同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合;

(3)互为相反数的两数相结合;

(4)能凑成整数的两数相结合;

(5)带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分,再分别相加。

n 有理数的乘法(重点)

有理数的乘法法则:

(1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。

(2)任何数同0相乘,都得0.

倒数:乘积是1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。(数

的倒数是

多个有理数相乘的法则及规律:

(1)   几个不是0的数相乘,负因数的个数是奇数时,积是负数;

负因数的个数是偶数时,积是正数。

确定符号后,把各个因数的绝对值相乘。

(2)几个数相乘,有一个因数为0,积为0;反之,如果积为0,那么至少有一个因数是0.

带分数与分数相乘时,通常把带分数化成假分数,再与分数相乘。

n 有理数的乘法运算律

乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积相等。

乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。

乘法分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。

n 有理数的除法

有理数除法法则:

(1)除以一个不为0的数,等于乘以这个数的倒数。即

(2)两数相除(被除数不为0),同号得正,异号得负,并把绝对值相除。

0除以任何不为0的数,都得0

步骤:先确定商的符号,再算出商的绝对值。

n 有理数的乘除混合运算

运算顺序:从左往右进行,将除法化成乘法后,进行约分计算。

注:带分数应首先化为假分数进行运算)

n 有理数的四则混合运算

运算顺序:先乘除,后加减,有括号要先算括号里面的。

注:除法一般先化为乘法,带分数化为假分数,合理使用运算律

知识点三 有理数的乘方

n 乘方(重点)

一般地,

个相同的因数
相乘,即
,记作
,读作
次方。求
个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做

中,
叫做底数
叫做指数
读作
次方,也可以读作
次幂。

当底数为分数时,要先用括号将底数括上,再在其右上角写指数,指数要写的小些。

乘方的规律:

负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。

正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0.

有理数乘方的运算方法:

1. 根据乘方的符号规律确定结果的符号。

2. 计算结果的绝对值。

n 有理数的混合运算

运算顺序:(1)先乘方,再乘除,最后加减

(2)同级运算,从左到右进行;

(3)如有括号,先算括号里的,按小括号、中括号、大括号的顺序。

n 科学记数法

把一个大于10的数记成

的形式,其中
是整数数位只有一位的数(即
),
是正整数,这样的记数方法叫科学记数法。(用科学记数法表示一个数时,10的指数比原数的整数位数少1.)

还原成原数时,只需把
的小数点往前移动
位。

n 近似数和有效数字

在实际问题中,由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。(近似数小数点后的末位数是0的,不能去掉0.)

一个近似数从左边第一位非0的数字起,到末位数字止,所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字,就称这个近似数保留几个有效数字。

精确度:表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数,四舍五入到哪一位,就称这个数精确到哪一位。

【考查题型】

考查题型一 有理数概念理解

【解题思路】理解有理数的定义,熟练掌握与正确理解有理数的分类是解题的关键。

典例1.(西安一模)

1.620四个数中,有理数的个数为(    )

A4   B3   C2   D1

【答案】B

【提示】根据有理数的定义,即可解答.

【详解】

1.620四个数中,有理数为
1.620,共3个,故选:B

变式1-1.(南京市模拟) a 是最小的自然数,b 是最大的负整数,c 是绝对值最小的有理数,abc 三个数的和为(   

A1  B0   C1   D不存在

【答案】A

【提示】先根据题意得到abc的值,再相加即可得到结果.

【详解】解:由题意得a=0,b=-1c=0,则a+b+c=-1

故选A.

变式1-2.(滨州市期末)在下列实数:

、﹣0.0010001中,有理数有(  )

A1  B2  C3  D4

【答案】D

【提示】由题意根据有理数的定义:整数与分数统称有理数,进行提示即可判断.

【详解】

解:∵

3
4

,﹣0.0010001是有理数,其它的是无理数.

有理数有4个.

故选:D

考查题型二 用数轴上的点表示有理数

【解题思路】在数轴上,原点左边的点表示的是负数,原点右边的点表示的是正数,右边的点表示的数比左边的点表示的数大.

典例2.(兴化市模拟)如图,数轴上两点A,B表示的数互为相反数,则点B表示的(    )

A-6  B6   C0   D无法确定

【答案】B

【解析】-6的相反数是6A点表示-6,所以,B点表示6.故选答案B.

变式2-1.(三门峡市模拟)如图,数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为(    )

A3   B2   C1   D-1

【答案】D

【提示】直接利用数轴得出结果即可.

【详解】解:数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为-1,故选D

【点睛】

本题考查了有理数与数轴上点的关系,任何一个有理数都可以用数轴上的点表示,在数轴上,原点左边的点表示的是负数,原点右边的点表示的是正数,右边的点表示的数比左边的点表示的数大.

变式2-2.(福建中考真题)如图,数轴上两点

所对应的实数分别为
,则
的结果可能是( 

A

   B1   C2   D3

【答案】C

【提示】根据数轴确定

的范围,再根据有理数的加减法即可做出选择.

【详解】解:根据数轴可得

1
,则1
3故选:C

【点睛】

本题考查的知识点为数轴,解决本题的关键是要根据数轴明确

的范围,然后再确定
的范围即可.

考查题型三 求一个数的相反数

【解题思路】理解相反数的概念

典例3.(吉林中考真题)﹣6的相反数是(  )

A﹣6   B

  C6   D

【答案】C

【提示】根据相反数的定义,即可解答.

【详解】6的相反数是:6,故选C.

变式3-1.(杭州市模拟)AB是数轴上两点,线段AB上的点表示的数中,有互为相反数的是(

A

  B

C

  D

【答案】B

【解析】根据互为相反数的两个数到原点的距离相等,并且在原点的两侧,可知只有B答案正确.故选B

变式3-2.(山东滨州市·中考真题)下列式子中,正确的是(  )

A|﹣5|=﹣5    B﹣|﹣5|=5    C﹣(﹣5)=﹣5    D﹣(﹣5)=5

【答案】D

【解析】

试题解析:A. |﹣5|=5,故原选项错误;

B. ﹣|﹣5|=-5,故原选项错误;

C. ﹣(﹣5)=5,故原选项错误;

D. ﹣(﹣5)=5,故正确.

故选D.

考查题型四 求一个数的绝对值

【解题思路】一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0

典例4.(甘肃兰州市·中考真题)

的绝对值是(   

A

  B2020    C
    D

【答案】B

【提示】根据绝对值的定义直接解答.

【详解】解:根据绝对值的概念可知:|−2020|2020,故选:B

变式4-1.(河北模拟)

的值为(   

A

    B
  C
  D2

【答案】B

【提示】根据绝对值的性质进行计算,即可得到答案.

【详解】解:

.故选:B

变式4-2.(北碚区模拟)已知

,且
,则
的值为(   

A17  B1-7  C±1    D±7

【答案】D

【提示】根据绝对值的意义,结合

,求出ab的值,然后即可得到答案.

【详解】

解:∵

故选:D

考查题型五 有理数比较大小

【解题思路】理数大小比较的法则:①正数都大于0;负数都小于0;正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小。

典例5.(河北模拟)在0,﹣1,0.5,(﹣1)2四个数中,最小的数是(  )

A0   B﹣1   C0.5   D(﹣1)2

【答案】B

【提示】有理数大小比较的法则:①正数都大于0;负数都小于0;正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小,据此判断即可.

【详解】

解:根据有理数比较大小的方法,可得

﹣1<0<0.5<(﹣1)2

0,﹣1,0.5,(﹣1)2四个数中,最小的数是﹣1.

故选B.

变式5-1.(江西南昌市模拟)有理数

在数轴上所对应的点的位置如图,下列说法正确的是(   

A

  B
    C
  D

【答案】D

【提示】根据相反数的定义大致标出

的位置,再根据数轴上右边的数总大于左边的数来逐一判断即可.

【详解】:在数轴上大致标出

的位置,如下图,

可得

,A项错误;

,B项错误;

,C项错误;

,D项正确.

故选:D.

变式5-2.(沈阳市模拟)如图,四个有理数在数轴上的对应点MPNQ,若点MN表示的有理数互为相反数,则图中表示绝对值最小的数的点是(

A.点M   B.点N    C.点P  D.点Q

【答案】C

【解析】MN表示的有理数互为相反数,原点的位置大约在O点,绝对值最小的数的点是P点,故选C

考查题型六 有理数的加减乘除混合运算

【解题思路】针对有理数的混合运算,掌握有理数的运算顺序和各个运算法则是解题关键.

典例6.(新疆中考真题)计算:

【答案】

【详解】

解:

 

变式6-1.(广西中考真题)计算:

【答案】-5

【详解】

变式7-2.(浙江模拟)计算:

1

2

3

4

【答案】18;(2-44;(3

;(4

【提示】

1)根据有理数的减法法则和加法法则计算即可;

2)根据有理数的乘法法则、除法法则和减法法则计算即可;

3)根据乘法分配律和各个运算法则计算即可;

4)根据有理数的运算顺序和各个运算法则计算即可.

【详解】

解:(1

=

=

=

=8

2

=

=

=

=-44

3

=

=

=

4

=

=

=

考查题型七 科学记数法

【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.

典例7.(甘肃兰州市中考真题)

发布
年度中国共享经济发展报告
显示,截止201712月,共有190家共享经济平台获得
亿元投资,数据
亿元用科学记数法可表示为
  

A.

     B
 

B.C

  D

【答案】C

【详解】

亿=115956000000,所以
亿用科学记数法表示为1.15956×1011

故选C.

变式7-1.(北京中考真题)2020623日,北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空,630日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道.将36000用科学记数法表示应为(   

A

    B
   C
   D

【答案】C

【提示】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|10n为整数.当原数绝对值大于1时,n是正数;当原数绝对值小于1时,n是负数.

【详解】解:36000=

,故选:C

变式7-2.(山东济南市·中考真题)2020623日,我国的北斗卫星导航系统(BDS)星座部署完成,其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米.将数字21500000用科学记数法表示为(  )

A0.215×108  B2.15×107

C2.15×106    D21.5×106

【答案】B

【详解】解:将21500000用科学记数法表示为2.15×107,故选:B

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