专题01 有理数
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 有理数基础概念
n 有理数(概念理解)
正数:大于0的数叫做正数。
负数:正数前面加上符号“-”的数叫负数。
有理数的分类(两种)(见思维导图)
n 数轴
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
ü 数轴的三要素:原点、正方向、单位长度(重点)
任何有理数都可以用数轴上的点表示。
ü 数轴上的点表示的数从左到右依次增大;原点左边的数是负数,原点右边的数是正数.
【注意】
1. 数轴是一条直线,可向两段无限延伸。
2. 在数轴上原点,正方向,单位长度的选取需根据实际情况而定。
n 相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数.(绝对值相等,符号不同的两个数叫做互为相反数)
n 绝对值
绝对值的概念:一班数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值。
绝对值的意义:
正数的绝对值是它本身;
负数的绝对值是它的相反数;
0的绝对值是0。
(互为相反数的两个数的绝对值相等。)
n 比较大小
1)数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。
2)正数大于0,负数小于0,正数大于负数。
3)两个负数比较,绝对值大的反而小。
4)两个正数比较,绝对值大的反而大。
常用方法:数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。
知识点二 有理数四则运算
n 有理数的加法(重点)
有理数的加法法则:(先确定符号,再算绝对值)
1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
2.异号两数相加,绝对值不相等时,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
3.互为相反数的两个数相加得0;(如果两个数的和为0,那么这两个数互为相反数)
4.一个数同0相加,仍得这个数。
有理数的加法运算律:
加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变。
即;
加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。
即。
n 有理数的减法
有理数的减法法则:
减去一个数等于加上这个数的相反数。即。
注:两个变化:减号变成加号;减数变成它的相反数。
n 有理数的加减混合运算
规则:运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算
步骤:(1)减法化加法;
(2)省略括号和加号;
(3)运用加法运算律使计算简便;
(4)运用有理数加法法则进行计算。
注:运用加法运算律时,可按如下几点进行:
(1)同号的先结合;
(2)同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合;
(3)互为相反数的两数相结合;
(4)能凑成整数的两数相结合;
(5)带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分,再分别相加。
n 有理数的乘法(重点)
有理数的乘法法则:
(1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
(2)任何数同0相乘,都得0.
倒数:乘积是1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。(数的倒数是)
多个有理数相乘的法则及规律:
(1) 几个不是0的数相乘,负因数的个数是奇数时,积是负数;
负因数的个数是偶数时,积是正数。
确定符号后,把各个因数的绝对值相乘。
(2)几个数相乘,有一个因数为0,积为0;反之,如果积为0,那么至少有一个因数是0.
注:带分数与分数相乘时,通常把带分数化成假分数,再与分数相乘。
n 有理数的乘法运算律
乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积相等。
即。
乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。
即。
乘法分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。
即。
n 有理数的除法
有理数除法法则:
(1)除以一个不为0的数,等于乘以这个数的倒数。即。
(2)两数相除(被除数不为0),同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何不为0的数,都得0。
步骤:先确定商的符号,再算出商的绝对值。
n 有理数的乘除混合运算
运算顺序:从左往右进行,将除法化成乘法后,进行约分计算。
(注:带分数应首先化为假分数进行运算)
n 有理数的四则混合运算
运算顺序:先乘除,后加减,有括号要先算括号里面的。
注:除法一般先化为乘法,带分数化为假分数,合理使用运算律
知识点三 有理数的乘方
n 乘方(重点)
一般地,个相同的因数相乘,即,记作,读作的次方。求个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。
在中,叫做底数,叫做指数。读作的次方,也可以读作的次幂。
当底数为分数时,要先用括号将底数括上,再在其右上角写指数,指数要写的小些。
乘方的规律:
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0.
有理数乘方的运算方法:
1. 根据乘方的符号规律确定结果的符号。
2. 计算结果的绝对值。
n 有理数的混合运算
运算顺序:(1)先乘方,再乘除,最后加减;
(2)同级运算,从左到右进行;
(3)如有括号,先算括号里的,按小括号、中括号、大括号的顺序。
n 科学记数法
把一个大于10的数记成的形式,其中是整数数位只有一位的数(即),是正整数,这样的记数方法叫科学记数法。(用科学记数法表示一个数时,10的指数比原数的整数位数少1.)
把还原成原数时,只需把的小数点往前移动位。
n 近似数和有效数字
在实际问题中,由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。(近似数小数点后的末位数是0的,不能去掉0.)
一个近似数从左边第一位非0的数字起,到末位数字止,所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字,就称这个近似数保留几个有效数字。
精确度:表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数,四舍五入到哪一位,就称这个数精确到哪一位。
【考查题型】
考查题型一 有理数概念理解
【解题思路】理解有理数的定义,熟练掌握与正确理解有理数的分类是解题的关键。
典例1.(西安一模)在
,,1.62,0四个数中,有理数的个数为( )A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】B
【提示】根据有理数的定义,即可解答.
【详解】在,,1.62,0四个数中,有理数为,1.62,0,共3个,故选:B.
变式1-1.(南京市模拟)设 a 是最小的自然数,b 是最大的负整数,c 是绝对值最小的有理数,a,b,c 三个数的和为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.不存在
【答案】A
【提示】先根据题意得到a、b、c的值,再相加即可得到结果.
【详解】解:由题意得a=0,b=-1,c=0,则a+b+c=-1,
故选A.
变式1-2.(滨州市期末)在下列实数:
、、、、、﹣0.0010001中,有理数有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【提示】由题意根据有理数的定义:整数与分数统称有理数,进行提示即可判断.
【详解】
解:∵=3,=4,
∴,,,﹣0.0010001是有理数,其它的是无理数.
有理数有4个.
故选:D.
考查题型二 用数轴上的点表示有理数
【解题思路】在数轴上,原点左边的点表示的是负数,原点右边的点表示的是正数,右边的点表示的数比左边的点表示的数大.
典例2.(兴化市模拟)如图,数轴上两点A,B表示的数互为相反数,则点B表示的( )
A.-6 B.6 C.0 D.无法确定
【答案】B
【解析】-6的相反数是6,A点表示-6,所以,B点表示6.故选答案B.
变式2-1.(三门峡市模拟)如图,数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为( )
A.3 B.2 C.1 D.-1
【答案】D
【提示】直接利用数轴得出结果即可.
【详解】解:数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为-1,故选D.
【点睛】
本题考查了有理数与数轴上点的关系,任何一个有理数都可以用数轴上的点表示,在数轴上,原点左边的点表示的是负数,原点右边的点表示的是正数,右边的点表示的数比左边的点表示的数大.
变式2-2.(福建中考真题)如图,数轴上两点
所对应的实数分别为,则的结果可能是( )A.
B.1 C.2 D.3【答案】C
【提示】根据数轴确定和的范围,再根据有理数的加减法即可做出选择.
【详解】解:根据数轴可得<<1,<<,则1<<3。故选:C
【点睛】
本题考查的知识点为数轴,解决本题的关键是要根据数轴明确和的范围,然后再确定的范围即可.
考查题型三 求一个数的相反数
【解题思路】理解相反数的概念
典例3.(吉林中考真题)﹣6的相反数是( )
A.﹣6 B.﹣
C.6 D.【答案】C
【提示】根据相反数的定义,即可解答.
【详解】−6的相反数是:6,故选C.
变式3-1.(杭州市模拟)A,B是数轴上两点,线段AB上的点表示的数中,有互为相反数的是()
A.
B.C.
D.【答案】B
【解析】根据互为相反数的两个数到原点的距离相等,并且在原点的两侧,可知只有B答案正确.故选B.
变式3-2.(山东滨州市·中考真题)下列式子中,正确的是( )
A.|﹣5|=﹣5 B.﹣|﹣5|=5 C.﹣(﹣5)=﹣5 D.﹣(﹣5)=5
【答案】D
【解析】
试题解析:A. |﹣5|=5,故原选项错误;
B. ﹣|﹣5|=-5,故原选项错误;
C. ﹣(﹣5)=5,故原选项错误;
D. ﹣(﹣5)=5,故正确.
故选D.
考查题型四 求一个数的绝对值
【解题思路】一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
典例4.(甘肃兰州市·中考真题)
的绝对值是( )A.
B.2020 C. D.【答案】B
【提示】根据绝对值的定义直接解答.
【详解】解:根据绝对值的概念可知:|−2020|=2020,故选:B.
变式4-1.(河北模拟)
的值为( )A.
B. C. D.2【答案】B
【提示】根据绝对值的性质进行计算,即可得到答案.
【详解】解:.故选:B.
变式4-2.(北碚区模拟)已知
,,且,则的值为( )A.1或7 B.1或-7 C.±1 D.±7
【答案】D
【提示】根据绝对值的意义,结合,求出a、b的值,然后即可得到答案.
【详解】
解:∵,,
∴,,
∵,
∴,或,;
∴;
或;
∴;
故选:D.
考查题型五 有理数比较大小
【解题思路】理数大小比较的法则:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小。
典例5.(河北模拟)在0,﹣1,0.5,(﹣1)2四个数中,最小的数是( )
A.0 B.﹣1 C.0.5 D.(﹣1)2
【答案】B
【提示】有理数大小比较的法则:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小,据此判断即可.
【详解】
解:根据有理数比较大小的方法,可得
﹣1<0<0.5<(﹣1)2,
∴在0,﹣1,0.5,(﹣1)2四个数中,最小的数是﹣1.
故选B.
变式5-1.(江西南昌市模拟)有理数
,在数轴上所对应的点的位置如图,下列说法正确的是( )A.
B. C. D.【答案】D
【提示】根据相反数的定义大致标出和的位置,再根据数轴上右边的数总大于左边的数来逐一判断即可.
【详解】解:在数轴上大致标出和的位置,如下图,
可得,故A项错误;
,故B项错误;
,故C项错误;
,故D项正确.
故选:D.
变式5-2.(沈阳市模拟)如图,四个有理数在数轴上的对应点M,P,N,Q,若点M,N表示的有理数互为相反数,则图中表示绝对值最小的数的点是( )
A.点M B.点N C.点P D.点Q
【答案】C
【解析】∵点M,N表示的有理数互为相反数,∴原点的位置大约在O点,∴绝对值最小的数的点是P点,故选C.
考查题型六 有理数的加减乘除混合运算
【解题思路】针对有理数的混合运算,掌握有理数的运算顺序和各个运算法则是解题关键.
典例6.(新疆中考真题)计算:
.【答案】
【详解】
解:
变式6-1.(广西中考真题)计算:
.【答案】-5
【详解】
.
变式7-2.(浙江模拟)计算:
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)8;(2)-44;(3);(4)
【提示】
(1)根据有理数的减法法则和加法法则计算即可;
(2)根据有理数的乘法法则、除法法则和减法法则计算即可;
(3)根据乘法分配律和各个运算法则计算即可;
(4)根据有理数的运算顺序和各个运算法则计算即可.
【详解】
解:(1)
=
=
=
=8
(2)
=
=
=
=-44
(3)
=
=
=
(4)
=
=
=
考查题型七 科学记数法
【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
典例7.(甘肃兰州市中考真题)据
发布年度中国共享经济发展报告显示,截止2017年12月,共有190家共享经济平台获得亿元投资,数据亿元用科学记数法可表示为A.
元 B.元B.C.
元 D.元【答案】C
【详解】亿=115956000000,所以亿用科学记数法表示为1.15956×1011,
故选C.
变式7-1.(北京中考真题)2020年6月23日,北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空,6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道.将36000用科学记数法表示应为( )
A.
B. C. D.【答案】C
【提示】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.当原数绝对值大于1时,n是正数;当原数绝对值小于1时,n是负数.
【详解】解:36000=,故选:C.
变式7-2.(山东济南市·中考真题)2020年6月23日,我国的北斗卫星导航系统(BDS)星座部署完成,其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米.将数字21500000用科学记数法表示为( )
A.0.215×108 B.2.15×107
C.2.15×106 D.21.5×106
【答案】B
【详解】解:将21500000用科学记数法表示为2.15×107,故选:B.
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