专题06 二元一次方程组
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 二元一次方程（组）有关概念
二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
【注意】
1） 二元：含有两个未知数；
2）一次：所含未知数的项的次数都是1。
例如：xy=1，xy的次数是二，属于二元二次方程。
2） 方程：方程的左右两边必须都是整式（分母不能出现未知数）。
二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
【注意】
1） 在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以求出另一个未知数的值。
2） 二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解。
二元一次方程组的概念：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．
【注意】
1）二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，如也是二元一次方程组。这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须一共含有两个未知数。
3） 方程组中的各个方程中，相同字母必须代表同一未知量。
4） 二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。
二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
【注意】
1）二元一次方程组的解是方程中每个方程的解。
2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的，但是有的方程组有无数个解或无解。
如：有的方程组无解，如：
知识点二 解二元一次方程组
消元的思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，即可先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元的思想。
代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
基本思路：未知数由多变少。
代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：
1.变：将其中一个方程变形，使一个未知数用含有另一个的未知数的代数式表示。
2.代：用这个代数式代替另一个方程中的相应未知数，得到一元一次方程。
3.解：解一元一次方程
4.求：把求得的未知数的值带入代数式或原方程组中的任意一个方程中，求得另一个未知数的值。
5.写：写出方程组的解。
6.验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。
加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
1.变形：将两个方程中其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）。
2.加减：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
3.求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。
4.回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。
5.写解：写出方程组的解。
6.检验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。
整体消元法：根据方程组各系数的特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，带入另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，并求得方程的解。
例 (x+5)+(y-4)=8
(x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可写为
m+n=8 解得m=6,n=2 所以
x=1
m-n=4 所以x+5=6,y-4=2 y=6
特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
解二元一次方程的基本步骤：
1.消元 2.求解 3.回代 4.写解 5.检验
解三元一次方程的基本步骤
1.变形（变三元一次为二元一次）
2.求解：解二元一次方程组
3.回代：将求得的未知数的值代入原方程组的一个适当的方程中，得到一个一元一次方程
4.求解：解一元一次方程，求出第三个未知数
5.写解：用大括号将所求的的三个未知数的值联立起来，即得原方程组的解。
知识点三 列二元一次方程组解应用题
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
1. 审：审题，明确各数量之间的关系。
2. 设：设未知数
3. 找：找题中的等量关系
4. 列：根据等量关系列出两个方程，组成方程组
5. 解：解方程组，求出未知数的值
6. 答：检验方程组的解是否符合题意，写出答案。
【考查题型】
考查题型一 二元一次方程（组）的相关概念
【解题思路】熟练掌握二元一次方程组的解法是解决此类题的关键．
典例1．（湖南益阳市·中考真题）同时满足二元一次方程
A．
【答案】A
【分析】联立和解二元一次方程组即可．
【详解】解：有题意得：
由①得x=9+y③
将③代入②得：36+4y+3y=1，解得y=-5
则x=9+（-5）=4
所以x=4，y=-5．
故选：A．
变式1-1．（黑龙江中考真题）若
A．3 B．3，－3 C．
【答案】C
【分析】将代入二元一次方程组中解出x和y的值，再计算x＋2y的算术平方根即可．
【详解】解：将代入二元一次方程中，
得到：，解这个关于x和y的二元一次方程组，
两式相加，解得，将回代方程中，解得，
∴，
∴x＋2y的算术平方根为，
故选：C．
变式1-2．（辽宁朝阳市·中考真题）关于x，y的二元一次方程组
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【分析】根据二元一次方程组的解的概念，把代入方程组中即可求出m、n的值，进一步即得答案.
【详解】解：把代入得：，解得：，∴，
故选：D．
考查题型二用代入法解二元一次方程组
典例2．（北京中考模拟）二元一次方程组
A．
【答案】B
【详解】
，
①+②得：3x=6，即x=2，
把x=2代入①得：y=0，
则方程组的解为，
故答案选B.
变式2-1．（丹东市模拟）以方程组
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】
，
①+②得，2y=1，
解得,y=.
把y=代入①得, =−x+2，
解得x=.
∵>0, >0，根据各象限内点的坐标特点可知，
点(x,y)在平面直角坐标系中的第一象限。
故选：A.
变式2-2．（内蒙古中考模拟）已知一个等腰三角形的两边长x，y满足方程组
A．5 B．4 C．3 D．5或4
【答案】A
【解析】
先解二元一次方程组,解得,所以等腰三角形的两边长为2,1.若腰长为1,底边长为2,由三角形三边关系可知这样的三角形不存在,若腰长为2,底边长为1,根据三边关系可知可以构成三角形,所以这个等腰三角形的周长为5.
考查题型三 用加减法解二元一次方程组
典例3．（广西中考真题）若
A．
【答案】D
【解析】
∵，
∴
将方程组变形为，
①+②×2得，5x=5，解得x=1，
把x=1代入①得，3-2y=1，解得y=1，
∴方程组的解为．
故选：D．
变式3-1．（广东模拟）已知a，b满足方程组
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【答案】B
【解析】
试题解析：，
①+②：4a+4b=16
则a+b=4，
故选B．
变式3-2．（黑龙江中考模拟）由方程组
A．x＋y＝1 B．x＋y＝－1 C．x＋y＝7 D．x＋y＝－7
【答案】C
【详解】
原方程可化为 ，
①+②得，x+y=7．
故选C．
考查题型四 用整体消元法解二元一次方程组
典例4．（浙江中考真题）若二元一次方程组
A．
【答案】D
【解析】
∵x+y=3，3x-5y=4，
∴两式相加可得：（x+y）+（3x-5y）=3+4，
∴4x-4y=7，
∴x-y=，
∵x=a，y=b，
∴a-b=x-y=
故选D.
变式4-1．（河北中考模拟）若方程组
A．
【答案】A
【解析】
解：令x+1=m，y﹣2=n，∴方程组可化为．∵方程组的解是，∴x+1=2，y﹣2=﹣1，解得：．故选A．
考查题型五 同解方程组
【解题思路】方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
典例5．（天津河西区中考模拟）已知关于x，y的方程组
A．
【答案】B
【解析】关于x,y的方程组 与,有相同的解,所以,解得,将代入可得,解得,故选B.
变式5-1．（浙江杭州市模拟）方程5x＋2y＝－9与下列方程构成的方程组的解为
A．x＋2y＝1 B．3x＋2y＝－8
C．5x＋4y＝－3 D．3x－4y＝－8
【答案】D
【解析】试题分析：将x与y的值代入各项检验即可得到结果．
解：方程5x+2y=﹣9与下列方程构成的方程组的解为的是3x﹣4y=﹣8．
故选D．
变式5-2．（明光市模拟）若方程组
A．
【答案】C
【分析】根据已知方程组结构可知，，求出和的值，即可得出答案；
【详解】解：得依题意得：，，解得：，，故选：C．
考查题型六 列二元一次方程组
【解题思路】由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
典例6．（黑龙江绥化市·中考真题）学校八年级师生共466人准备参加社会实践活动，现已预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满．设49座客车x辆，37座客车y辆，根据题意可列出方程组（ ）
A．
【答案】A
【分析】设49座客车x辆，37座客车y辆，根据49座和37座两种客车共10辆，及10辆车共坐466人，且刚好坐满，即可列出方程组.
【详解】解：设49座客车x辆，37座客车y 辆，
根据题意得 ：
故选：A．
变式6-1．（浙江宁波市·中考真题）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（ ）
A．
C．
【答案】A
【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条-1，据此列出方程组即可．
【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，
那么可列方程组为：，
故选：A．
变式6-2．（山东临沂市·中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A．
【答案】B
【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组．
【详解】解：设有x人，y辆车，依题意得： ，故选B．
变式6-3．（辽宁葫芦岛市·中考真题）我市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工
A．
C．
【答案】D
【分析】根据“甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程”和“甲工程队每天比乙工程队多施工2米”可分别列出方程，联立即可．
【详解】解：依据题意：“甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程”可列方程，
“甲工程队每天比乙工程队多施工2米”可列方程，
故可列方程组：，
故选：D．
考查题型七 三元一次方程组的应用
【解题思路】考查三元一次方程组的应用，根据题意设出相应的未知数，结合题目的等量关系列出方程组是解决问题的关键。
1．（重庆中考真题）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的
【答案】
【分析】先根据题意设出相应的未知数，再结合题目的等量关系列出相应的方程组，最后求解即可求得答案．
【详解】解：设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为3k，5k，2k，7月份总增加的营业额为m，则7月份摆摊增加的营业额为m，设7月份外卖还需增加的营业额为x．
∵7月份摆摊的营业额是总营业额的，且7月份的堂食、外卖营业额之比为8：5，
∴7月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为8：5：7，
∴设7月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为8a，5a，7a，
由题意可知： ，解得： ，
∴，
故答案为：．
2．（重庆中考真题）为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为2510元，第三时段返现金额比第一时段多420元，则第二时段返现金额为____元．
【答案】1230．
【分析】设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，b，c，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为3a，2b，4c，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，4b，2c．根据题意得到关于a，b，c方程组，根据a，b，c均为正整数，求解即可．
【详解】设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，b，c，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为3a，2b，4c，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，4b，2c．由题意得，
即，其整数解为（其中n为整数），
又∵a，b，c均是正整数，易得n=1.所以.
∴150a+60b+40c=150×5+60×4+40×6=1230．
故答案为：1230．
另解：由上9b+c=42，得知b=1，2，3，4.列举符合题意的解即可．
考查题型八 利用二元一次方程组解决实际问题
1.列二元一次方程解决分配问题
1．（浙江中考模拟）某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满，设大房间有
A．
【答案】A
【详解】大房间有个，小房间有个，
由题意得：，
故选A.
2．（河南中考真题）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三,问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）
A．
【答案】A
【解析】
设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为：
．
故选A．
3．（湖北中考真题）我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程（组）为（ ）
A．
【答案】A
【详解】
设有x人，物品的价格为y元，
根据题意，可列方程：，
故选A．
2. 列二元一次方程解决销售利润
1．（山东中考真题）夏季来临，某超市试销
A．
C．
【答案】C
【解析】
设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为：．
故选C．
2．（山东中考模拟）为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，若设每个排球x元，每个实心球y元，则根据题意列二元一次方程组得（ ）
A．
C．
【答案】B
【解析】
设每个排球x元，每个实心球y元，
则根据题意列二元一次方程组得： ，
故选B．
3．（河北中考模拟）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（ ）
A．19 B．18 C．16 D．15
【答案】C
【解析】
要求出第三束气球的价格，根据第一、二束气球的价格列出方程组，应用整体思想求值：
设笑脸形的气球x元一个，爱心形的气球y元一个，由题意，得，
两式相加，得，4x+4y=32，即2x+2y=16．
故选C．
4.（湖北中考模拟）某商店经销一种商品，由于进价降低了5%，售价不变，使得利润率由m%提高到（m+6）%，问：m值为多少？（）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【解析】
设原进价为x，则：
x+m%·x=95%·x+95%·x·（m+6）%，
∴1+m%=95%+95%（m+6）%，
∴100+m=95+0．95（m+6），
∴0．05m=0．7
解得：m=14．
故选B．
5．（浙江绍兴市·中考真题）有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是_____元．
【答案】100或85．
【分析】设所购商品的标价是x元，然后根据两人共付款150元的等量关系，分所购商品的标价小于90元和大于90元两种情况，分别列出方程求解即可．
【详解】解：设所购商品的标价是x元，则
①所购商品的标价小于90元，
x﹣20+x＝150，
解得x＝85；
②所购商品的标价大于90元，
x﹣20+x﹣30＝150，
解得x＝100．
故所购商品的标价是100或85元．
故答案为100或85．
3. 列二元一次方程解决行程问题
1．（黑龙江中考模拟）小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路
A．
C．
【答案】B
【详解】
小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意得
，
故选B．
2．（浙江中考模拟）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目 | 里程费 | 时长费 | 远途费 |
单价 | 1.8元/公里 | 0.3元/分钟 | 0.8元/公里 |
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元. | |||
小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（ ）
A．10分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．19分钟
【答案】D
【详解】
设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，依题可得：
1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5-7）,
10.8+0.3x=16.5+0.3y,
0.3（x-y）=5.7,
x-y=19,
故答案为D.
3．（浙江绍兴市·中考真题）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km．它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（ ）
A．120km B．140km C．160km D．180km
【答案】B
【分析】设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，然后画出图形、确定等量关系、列出关于x和y的二元一次方程组并求解即可．
【详解】解：设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图：
设AB＝xkm，AC＝ykm，根据题意得：
，
解得： ．
∴乙在C地时加注行驶70km的燃料，则AB的最大长度是140km．
故答案为B．
4. 列二元一次方程解决和、差、倍、分问题
1.（湖北中考模拟）已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数所列的方程组正确的是（ ）
A．
C．
【答案】D
【解析】
本题考查的是根据实际问题列方程组
根据等量关系：十位上的数字比个位上的数字大，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小，即可列出方程组。
根据十位上的数字比个位上的数字大，可列方程为，
根据若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小，可列方程为，
则可列方程组为，故选D。
2．（浙江中考模拟）一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1，若将这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（ ）
A．86 B．68 C．97 D．73
【答案】D
【详解】
设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y．
则，
解得．
故选D．
3．（辽宁中考真题）为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的．如果6只饭碗摞起来的高度为15cm，9只饭碗摞起来的高度为20cm，那么11只饭碗摞起来的高度更接近（ ）
A．21cm B．22cm C．23cm D．24cm
【答案】C
【详解】
试题分析：设碗的个数为x个，碗的高度为ycm，由题意可知碗的高度和碗的个数的关系式为y=kx+b，
由题意得，，
解得：，
则11只饭碗摞起来的高度为：×11+5=（cm）．
更接近23cm．
故选C．
4．（浙江中考模拟）已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍．设甲数为x，乙数为y，根据题意，列方程组正确的是（ ）
A．
【答案】A
【详解】
设甲数为x，乙数为y，
根据题意得： ，
故选A.
5．（山东中考模拟）甲数的2倍比乙数大3，甲数的3倍比乙数的2倍小1，若设甲数为x，乙数为y，则根据题意可列出的方程组为（ ）
A．
C．
【答案】C
【解析】
解：设甲数为x，乙数为y，根据题意得：，故选C．
5. 列二元一次方程解决方案问题
1．（黑龙江中考模拟）某校九年级（1）班为了筹备演讲比赛，准备用200元钱购买日记本和钢笔两种奖品（两种都要买），其中日记本10元/本，钢笔l5元/支，在钱全部用完的条件下，购买的方案共有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
【答案】C
【详解】
设购买日记本x本，钢笔y支，
∴10x+15y=200，即2x+3y=40，
∵x、y均为整数，
∴x=2时，y=12，
x=5时，y=10，
x=8时，y=8，
x=11时，y=6，
x=14时，y=4，
x=17时，y=2，
∴共有6种购买方案，
故选C.
2．（黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
【分析】设可以购买x支康乃馨，y支百合，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出小明有4种购买方案．
【详解】解：设可以购买x支康乃馨，y支百合，
依题意，得：2x+3y＝30，
∴y＝10﹣x．
∵x，y均为正整数，
∴，，，，
∴小明有4种购买方案．
故选：B．
3．（湖南中考真题）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是_____次．
【答案】4
【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意得：
，整理得：，解得：．
6.列二元一次方程解决几何问题
1．（黑龙江中考真题）如图，在长为15，宽为12的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．35 B．45 C．55 D．65
【答案】B
【详解】
解：设小矩形的长为a，宽为b，可得方程组：
a+2b=15，a=3b，
可得解：a=9，b=3，
故阴影部分的面积：，
故选B.
2．（四川中考真题）一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到方程组为
A．
【答案】C
【解析】
根据平角和直角定义，得方程x+y=90；根据∠1比∠2的度数大50°，得方程x=y+50．可列方程组为，故选D．
3．（河南中考模拟）如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x，宽为y，则依据题意可得二元一次方程组为（ ）
A．
【答案】A
【详解】
解：设每一个小长方形的长为x，宽为y，
依题意，得：．
故选A．
7. 其他问题
1．（湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒
A．
【答案】A
【分析】根据大小桶所盛酒的数量列方程组即可.
【详解】∵5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，
∴5x+y=3，
∵1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，
∴x+5y=2，
∴得到方程组，
故选：A.
2．（湖北襄阳市·中考真题）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（ ）
A．
【答案】C
【分析】设小马有x匹，大马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设小马有x匹，大马有y匹，由题意可得：
，
故选：C．
故答案为：4．
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