专题08 整式的乘除与因式分解
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 整式乘法
幂的运算性质（基础）：
l am·an＝am＋n （m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【同底数幂相乘注意事项】
1）底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，根据指数是奇偶数来确定结果的正负，并且化简到底。
2）不能疏忽指数为1的情况。
3）乘数a可以看做有理数、单项式或多项式（整体思想）。
4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。
l (am)n＝amn （m、n为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．
【同底数幂相乘注意事项】负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。
l (ab)n＝anbn （n为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积．
l am ÷an＝am－n （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n） 同底数幂相除，底数不变，指数减．
【同底数幂相除注意事项】
1.因为0不能做除数，所以底数a≠0.
2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。
3.注意指数为1的情况，如x8÷x= x7 ，计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.
4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。
l a0＝1 （a≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．
知识点二 整式乘除
n 单项式×单项式
单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
单项式乘法易错点：
【注意】
1. 单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
2. 运算顺序：先算乘方，再算乘法。
n 单项式×多项式
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加
【单项式乘以多项式注意事项】
1.单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。
2.单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负）
3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序。
n 多项式×多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
【多项式乘以多项式注意事项】
多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。
n 乘法公式
① 完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
【扩展】
扩展一(公式变化)： +
+2ab
扩展二： + = 2(+ )
- = 4ab
扩展三： + + = -2ab-2ac-2bc
② 平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
【运用平方差公式注意事项】
1.对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式．
2.公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误．
n 单项式÷单项式
一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
【同底数幂相除注意事项】
1.因为0不能做除数，所以底数a≠0.
2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。
3.注意指数为1的情况，计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.
4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。
n 多项式÷单项式
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
【解题思路】
多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决。
n 整式的混合运算
运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的。
知识点四 因式分解（难点）
因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
【因式分解的定义注意事项】
1.分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
2.因式分解必须是恒等变形；
3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
因式分解的常用方法：
提公因式法
【提公因式法的注意事项】
1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。
4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。
公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）
② 完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
【考查题型】
考查题型一 幂的运算法则
【解题思路】熟练掌握幂的运算法则是解答此类题的关键
典例1．（广东深圳市·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．a+2a=3a2 B．
C．
【答案】B
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方逐项分析即可．
【详解】A．a+2a=3a,该选项错误;
B．,该选项正确;
C．,该选项错误;
D．,该选项错误;
故选B．
变式1-1．（江苏苏州市中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．
【答案】D
【分析】根据幂的运算法则逐一计算可得．
【详解】解： A、，此选项错误；
B、，此选项错误；
C、，此选项错误；
D、，此选项正确；
故选：D．
变式1-2．（河北中考真题）若
A．
【答案】A
【分析】根据乘方的定义及幂的运算法则即可求解．
【详解】
=，
故选A．
变式1-3．（陕西中考真题）计算：（﹣
A．﹣2x6y3 B．
【答案】C
【分析】先根据积的乘方运算法则计算，再根据幂的乘方运算法则进行计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．
【详解】解：（﹣x2y）3＝＝．故选：C．
变式1-4．（山东临沂市·中考真题）计算
A．
【答案】D
【分析】根据积的乘方和幂的乘方以及同底数幂的除法运算法则即可求出答案．
【详解】解：==，故选D.
变式1-5．（河北中考真题）墨迹覆盖了等式“
A．＋ B．－ C．× D．÷
【答案】D
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
【详解】∵（），
，
∴覆盖的是：÷．
故选：D．
变式1-6．（安徽中考真题）计算
A．
【答案】C
【分析】先处理符号，化为同底数幂的除法，再计算即可．
【详解】解：
故选C．
变式1-7．（四川乐山市·中考真题）已知
A．
【答案】C
【分析】逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由即可解答．
【详解】∵，
依题意得：，．
∴，
∴，
故选：C．
考查题型二 运用幂的运算法则比较大小
典例2．（杭州市中考模拟）若
A．a＜b B．
【答案】B
【详解】
，
故选B.
变式2-1．（湖北中考模拟）已知
A．
【答案】A
【详解】
解：
故选A.
考查题型三 计算单项式乘单项式
【解题思路】数字与数字相乘，字母为同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
典例3．（浙江台州市·中考真题）计算2a2·3a4的结果是（ ）
A．5a6 B．5a8 C．6a6 D．6a8
【答案】C
【分析】按照单项式与单项式相乘的运算法则求解即可.
【详解】解：由题意知：2a2·3a4=6a2+4=6a6.故答案为：C.
变式3-1．（四川泸州市·中考真题）计算
A．
【答案】C
【分析】根据单项式乘法法则进行计算即可.
【详解】，故选C．
考查题型四 计算单项式乘多项式
【解题思路】掌握运算法则是解题的关键
典例4．（山东青岛市·中考真题）计算
A．8m5 B．-8m5 C．8m6 D．-4m4+12m5
【答案】A
【分析】根据积的乘方以及合并同类项进行计算即可．
【详解】原式=4m2·2m3=8m5，故选A．
典例4-1．（广西柳州市·中考真题）计算：
A．
【答案】B
【分析】根据单项式乘以多项式的法则求解即可；
【详解】解：；故选B．
考查题型五 计算多项式乘多项式
【解题思路】掌握运算法则是解题的关键
典例5．（台湾中考真题）计算
A．
【答案】D
【分析】由多项式乘法运算法则：两多项式相乘时，用一个多项式的各项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，合并同类项后所得的式子就是它们的积．
【详解】解：由多项式乘法运算法则得
．
故选D．
典例5-1．（黑龙江牡丹江市中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．(a＋b)(a－2b)=a2－2b2 B．
C．－2(3a－1)=－6a＋1 D．(a＋3)(a－3)=a2－9
【答案】D
【分析】本题根据代数式运算法则及公式即可做出选择．
【详解】A、原式＝，故此选项错误；
B、原始＝，根据完全平方公式可以做出判断，故此选项错误；
C、原式＝，根据乘法分配律可以做出判断，故此选项错误；
D、原式＝a2－9，故此选项正确．
故选：D．
考查题型六 利用平方差公式求解
【解题思路】灵活运用平方差公式是解题的关键
典例6．（河北中考真题）若
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【分析】利用平方差公式变形即可求解．
【详解】
原等式变形得：
．
故选：B．
变式6-1．（湖南郴州市·中考真题）如图
A．
B．C．
【答案】B
【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
【详解】第一个图形空白部分的面积是x2-1，
第二个图形的面积是（x+1）（x-1）．
则x2-1=（x+1）（x-1）．
故选：B．
变式6-2．（江苏淮安市·中考真题）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（ ）
A．205 B．250 C．502 D．520
【答案】D
【分析】设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为，先得出由这两个奇数得到的“幸福数”为，再看四个选项中，能够整除4的即为答案．
【详解】设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为
由这两个奇数得到的“幸福数”为
观察四个选项可知，只有选项D中的520能够整除4
即
故选：D．
考查题型七 利用完全平方公式求解
【解题思路】灵活运用完全平方公式是解题的关键
典例7．（贵州贵阳市·中考真题）选择计算（﹣4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是（ ）
A．运用多项式乘多项式法则 B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则 D．运用完全平方公式
【答案】B
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
【详解】选择计算（﹣4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是：运用平方差公式．
故选：B．
变式7-1．（江苏宿迁市·中考真题）已知a+b=3，a2+b2=5，则ab的值是
【答案】2
【分析】根据完全平方公式可得，再整体代入求解即可．
【详解】解：当，时，
，，解得．
故答案为：2．
变式7-2．（山东枣庄市·中考真题）若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab＝_____．
【答案】1
【分析】根据完全平方公式，可得答案．
【详解】
（a+b）2＝32＝9，
（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9．
∵a2+b2＝7，
∴2ab＝2，
ab＝1，
故答案为1．
变式7-3．（山东枣庄市·中考真题）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是
A．
【答案】C
【解析】由题意可得，正方形的边长为，故正方形的面积为．
又∵原矩形的面积为，∴中间空的部分的面积=．
故选C．
考查题型八 利用公式法分解因式
【解题思路】熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．平方差公式：
典例8．（柳州市柳林中学中考真题）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．a2﹣b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2+b2 D．a2+2ab+b2
【答案】A
【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、a2﹣b2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
B、﹣a2﹣b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
C、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
D、a2+2ab+b2是三项，不能用平方差公式进行因式分解．
故选：A．
变式8-1．（广西中考真题）因式分解a2﹣4的结果是（ ）
A．（a+2）（a﹣2） B．（a﹣2）2 C．（a+2）2 D．a（a﹣2）
【答案】A
【分析】利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：原式＝（a+2）（a﹣2），
故选：A．
变式8-2．（西藏中考真题）下列分解因式正确的一项是（ ）
A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） B．2xy+4x＝2（xy+2x）
C．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2 D．x2+y2＝（x+y）2
【答案】A
【分析】各式分解得到结果，即可作出判断．
【详解】
解：A、原式＝（x+3）（x﹣3），符合题意；
B、原式＝2x（y+2），不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意．
故选：A．
考查题型九 综合提公因式和公式法分解因式
【解题思路】公式法和提公因式法分解因式关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
典例9．（湖南益阳市·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用提公因式法分解因式和平方差公式以及完全平方公式进行分解即可得到答案．
【详解】A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误．
故选：C．
变式9-1．（四川泸州市·中考真题）把
A．
C．
【答案】C
【分析】先提公因式2，然后再利用平方差公式进行分解即可.
【详解】
=
=，
故选C．
变式9-2．（山东潍坊市·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A．
C．
【答案】D
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而判断即可．
【详解】A、，故此选项错误；
B、，无法分解因式，故此选项错误；
C、，无法分解因式，故此选项错误；
D、，正确，
故选D．
考查题型十 利用多项式与多项式乘积中项的特征求待定字母的值的方法
典例10．（山东中考模拟）若（x﹣2）（x2+ax+b）的积中不含x的二次项和一次项，求（2a+b+1）（2a﹣b﹣1）﹣（a+2b）（﹣2b+a）+2b的值．
【答案】59.
【详解】
解：（x﹣2）（x2+ax+b）=x3+ax2+bx﹣2x2﹣2ax﹣2b=x3+（a﹣2）x2+（b﹣2a）x﹣2b，
∵（x﹣2）（x2+ax+b）的积中不含x的二次项和一次项，
∴a﹣2=0且b﹣2a=0，
解得：a=2，b=4，
(2a+b+1)(2a﹣b﹣1)﹣(a+2b)(﹣2b+a)+2b
=(2a)2﹣(b+1)2﹣（a2﹣4b2）+2b
=4a2﹣b2﹣2b﹣1﹣a2+4b2+2b
=3a2+3b2﹣1，
当a=2，b=4时，
原式=3×22+3×42﹣1=12+48﹣1=59．
考查题型十一 乘法公式的合理运用
典例11．（乌鲁木齐市第七十七中学中考模拟）计算：
（1）（a+2b﹣c）（a﹣2b+c）
（2）已知6x﹣5y＝10，求[（﹣2x+y）（﹣2x﹣y）﹣（2x﹣3y）2]÷4y的值．
【答案】（1）a2﹣4b2+4bc﹣c2；（2）5.
【详解】解：
（1）原式=[a+（2b﹣c）][a﹣（2b﹣c）]
=a2﹣（2b﹣c）2
=a2﹣（4b2﹣4bc+c2）
=a2﹣4b2+4bc﹣c2
（2）当6x﹣5y=10时，
∴3x﹣2.5y=5
原式=[4x2﹣y2﹣（4x2﹣12xy+9y2）]÷4y
=（12xy﹣10y2）÷4y
=3x﹣2.5y
=5
考查题型十二 乘法公式在解决数的计算问题中的巧妙应用
典例12．（浙江中考模拟）计算：（﹣2018）2+2017×（﹣2019）．
【答案】1.
【详解】
（﹣2018）2+2017×（﹣2019）
=20182﹣（2018﹣1）×（2018+1）
=20182﹣20182+1
=1．
考查题型十三 乘法公式的变形在解题中的应用
典例13．（甘肃中考模拟）已知x+
A．38 B．36 C．34 D．32
【答案】C
【详解】把x+=6两边平方得：（x+）2=x2++2=36，
则x2+=34，
故选：C．
变式13-1．（四川中考真题）已知实数a、b满足a+b=2，ab=
A．1 B．﹣
【答案】C
【详解】
∵a+b=2，ab=，
∴（a+b）2=4=a2+2ab+b2，
∴a2+b2=，
∴（a-b）2=a2-2ab+b2=1，
∴a-b=±1，
故选：C．
变式13-2．（江苏中考模拟）若(x+y)2=9，(x-y)2=5，则xy的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-4 D．4
【答案】B
【详解】
根据完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，分别化简可知（x+y）2=x2+2xy+y2=9①，（x﹣y）2= x2-2xy+y2=5②，①-②可得4xy=4，解得xy=1.
故选：B
变式13-3．（浙江中考模拟）已知（m-n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（ ）
A．10 B．6 C．5 D．3
【答案】C
【详解】
由题意得，
把两式相加可得，则
故选C.
变式13-4．（湖南中考真题）已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】
根据完全平方公式得出a2+b2=（a+b）2﹣2ab，代入求出即可．∵a+b=3，ab=2，
∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2×2=5．
考查题型十四 整式的化简求值
典例14．（辽宁中考模拟）先化简，再求值：（x﹣2y）2+（x+y）（x﹣4y），其中x＝5，y＝
【答案】2x2﹣7xy，43
【详解】
原式＝x2﹣4xy+4y2+x2﹣4xy+xy﹣4y2＝2x2﹣7xy，
当x＝5，y＝时，原式＝50﹣7＝43．
变式14-1．（江苏中考模拟）先化简，再求值：2＋(＋)(－2)－(－，其中＝－3， ＝ .
【答案】ab-b2 ； ；
【详解】
原式=2b2+a2-2ab+ab-2b2-(a2-2ab+b2)
=ab-b2 ；
当a=-3，b= 时，
原式=
考查题型十五 乘法公式和几何图形相结合的应用方法
典例15．（浙江中考模拟）如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．
（1）用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；
（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面积．
【答案】（1）矩形的周长为4m；（2）矩形的面积为33．
【详解】
（1）矩形的长为：m﹣n，
矩形的宽为：m+n，
矩形的周长为：2[(m-n)+(m+n)]=4m；
（2）矩形的面积为S=（m+n）（m﹣n）=m2-n2，
当m=7，n=4时，S=72-42=33．
变式15-1．（浙江中考真题）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
【答案】见解析.
【详解】
详解：由题意可得：
方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，
方案三：a2++==a2+2ab+b2=（a+b）2．
考查题型十六 利用公式法解决代数式求值问题的方法
典例16．（河南中考模拟）已知a﹣b=1，则a3﹣a2b+b2﹣2ab的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】C
【详解】
a3﹣a2b+b2﹣2ab=a2（a﹣b）+b2﹣2ab=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2=1．
故选C．
变式16-1．（陕西中考模拟）已知实数x满足
A．1或﹣2 B．﹣1或2 C．1 D．﹣2
【答案】D
【详解】
∵x2+=0
∴（x+）2-2+x+=0，
∴[（x+）+2][（x+）﹣1]=0，
∴x+=1或﹣2．
∵x+=1无解，
∴x+=﹣2．
故选：D．
变式16-2．（江苏中考模拟）若x2+mx-15=(x+3)(x+n)，则m的值为( )
A．-5 B．5 C．-2 D．2
【答案】C
【详解】
∵x2+mx-15=（x+3）（x+n），∴x2+mx-15=x2+nx+3x+3n，
∴3n=-15，m=n+3，解得n=-5，m=-5+3=-2．
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