【思维导图】
【知识要点】
知识点一 变量与函数
变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。
常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。
【注意】
1、变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。
2、区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。
函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
【函数概念的解读】
1、 有两个变量。
2、 一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。
3、 对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
函数定义域：一般的，一个函数的自变量x允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
确定函数定义域的方法：（自变量取值范围）
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值。
函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
函数的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
画函数图像的一般步骤：1、列表 2、描点 3、连线
函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：
1、将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。
2、两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。
函数的三种表示法及其优缺点
1、解析法： 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
优：准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系。
缺：求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示。
3、 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
优：自变量和与它对应的函数值数据一目了然，使用方便。
缺：所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性。
3、图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
优：形象的把自变量和函数值的关系表示出来。
缺：图像中只能得到近似的数量关系。
知识点二 一次函数的图形与性质
正比例函数定义：一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数。
一次函数定义：如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。
注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。
待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出解析式的方法叫做待定系数法。
待定系数法求函数解析式的一般步骤：
1、 设函数解析式 2、将已知条件带入到解析式中
2、 解方程（组） 4、将求出的数值代入到解析式中
正比例函数图像与一次函数图像特征
b>0
b<0
b=0
k>0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限
图象从左到右上升，y随x的增大而增大
k<0
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限
图象从左到右下降，y随x的增大而减小
总结如下：
k>0时，y随x增大而增大，必过一、三象限。
k>0，b>0时, 函数的图象经过一、二、三象限；（一次函数）
k>0，b<0时, 函数的图象经过一、三、四象限；（一次函数）
k>0，b=0时, 函数的图象经过一、三象限。 （正比例函数）
k<0时, y随x增大而减小，必过二、四象限。
k<0，b>0时，函数的图象经过一、二、四象限；（一次函数）
k<0，b<0时，函数的图象经过二、三、四象限；（一次函数）
k<0，b=0时，函数的图象经过二、四象限。 （正比例函数）
直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系：
1、当b>0时，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y1=kx＋b的图象．
2、当b<0时，将y2=kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到了y2=kx＋b的图象．
k，b符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
正比例函数的图像：y=kx（k≠0）是经过点（0，0）和（1，k）的一条直线。
一次函数的图象：y=kx+b（k≠0）是经过点（0，b）和
的一条直线。
1、当
,则k，b异号，直线与x轴交与正半轴
2、当
,则b=0，直线过原点
3、当
,则k，b同号，直线与x轴交与负半轴
在两个一次函数表达式中： 直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2 的位置关系
k相同， b也相同时，两一次函数图像重合；
k相同， b不相同时，两一次函数图像平行；
k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；
k不相同，b相同时， 两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。
特殊位置关系：直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2
两直线平行，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等。即：
两直线垂直，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）。即:
直线l1与坐标原点构成的三角形面积为s=
知识点三 一次函数与方程（组）、不等式
一次函数与一元一次方程的关系：因为任何一个以x为未知数一元一次方程都可以转化为kx+b=0（k≠0 ）的形式.求方程kx+b=0(k≠0)的解，就是求函数y=kx+b(k≠0)函数值为0时，自变量x的值.
一次函数与二元一次方程组的关系： 一般因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以写成y=kx+b（k≠0，k，b为常数）的形式。所以每个这样的方程都对应一个一次函数，即对应一条直线。直线上每个点的坐标（x，y），都是这个二元一次方程的解。
由上可知，含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少。从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条直线的交点坐标。因此可以通过画一次函数图像的方法得到方程组的解
一次函数与一元一次不等式的关系：因为任何一个以x为未知数一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a≠0 ）的形式。求不等式的解，就是求不等式y=ax+b函数值大于或小于0时，自变量x的取值范围。
【考查题型】
考查题型一 正比例函数的定义
【解题思路】正比例函数的定义
典例1．（天津中考模拟）已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝_____．
【答案】-1
【详解】
解：由正比例函数的定义可得：m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
变式1-1．（吉林中考模拟）若y=（m﹣1）x|m|是正比例函数，则m的值为_____.
【答案】-1
【详解】
由题意得：m−1≠0，|m|=1，
解得：m=−1.
故答案为：−1.
变式1-2．（柳州市龙城中学中考模拟）若一次函数y=(m﹣3)x+m2﹣9是正比例函数，则m的值为_______．
【答案】m=﹣3
【解析】
∵y=(m﹣3)x+m2﹣9是正比例函数，
∴
解得m=-3．
故答案是：-3.
考查题型二 正比例函数的图像与性质
【解题思路】熟知函数图象上点的坐标满足其解析式是解决此题的关键．
典例2．（陕西模拟）下列四个点，在正比例函数y=
x的图象上的点是（ ）
A．（2，5） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）
【答案】B
【分析】
分别把各点坐标代入正比例函数的解析式进行一一验证即可．
【详解】
A．∵当x=2时，y=
×2=
≠5，∴此点不在正比例函数y=
x图象上，故本选项错误；
B．∵当x=5时，y=
×5=2，∴此点在正比例函数y=
x图象上，故本选项正确；
C．∵当x=2时，y=
×2=
≠﹣5，∴此点不在正比例函数y=
x图象上，故本选项错误；
D．∵当x=5时，y=
×5=2≠﹣2，∴此点不在正比例函数y=
x图象上，故本选项错误．
故选B．
变式2-1．（陕西模拟）若一个正比例函数的图象经过A(3，m﹣1)，B(4，2m﹣1)两点，则m的值为（ ）
A．﹣0.5 B．0.5 C．2 D．﹣2
【答案】A
【分析】设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k，m的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），
∵该正比例函数的图象经过A(3,m﹣1)，B(4,2m﹣1)两点，
∴
，解得：
．故选：A．
变式2-2．（西安市模拟）若正比例函数
经过两点（1，
）和（2，
），则
和
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】A
【分析】分别把点（1，
），点（2，
）代入函数
，求出点
，
的值，并比较出其大小即可．
【详解】∵点（1，
），点（2，
）是函数
图象上的点，
∴
，
，
∵
，
∴
．
故选：A．
变式2-3．（湖南株洲市一模）如图，在同一直角坐标系中，正比例函数
，
，
，
的图象分别为
，
，
，
，则下列关系中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先根据直线经过的象限判断k的符号，再进一步根据直线的陡峭趋势（直线越陡
越大）判断k的绝对值的大小，最后判断四个数的大小.
【详解】解：根据直线经过的象限，知
，
，
，
，根据直线越陡
越大，知
，
，所以
．故选B．
【点睛】
此题主要考查了正比例函数图象的性质，直线越陡
越大，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．
考查题型三 根据一次函数的定义求参数
【解题思路】熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
典例3（海口市模拟）一次函数y＝（k﹣1）x+3的图象经过点（﹣2，1），则k的值是（ ）
A．﹣1 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】函数经过点（﹣2，1），把点的坐标代入解析式，即可求得k的值．
【详解】解：根据题意得：﹣2（k﹣1）+3＝1，
解得：k＝2．
故选B．
变式3-1．（安徽中考真题）已知一次函数
的图象经过点
，且
随
的增大而减小，则点
的坐标可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．
【详解】∵一次函数
的函数值
随
的增大而减小，
∴k﹤0，
A．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；
B．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；
C．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；
D．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=
﹥0，此选项不符合题意，
故选：B．
变式3-2．（浙江杭州市·中考真题）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求得解析式即可判断．
【详解】解：∵函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），
∴2＝a+a，解得a＝1，
∴y＝x+1，
∴直线交y轴的正半轴，且过点（1，2），
故选：A．
考查题型四 一次函数的图像
【解题思路】解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
典例4（四川广安市·中考真题）一次函数
的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据一次函数的解析式和性质，可以得到该函数的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，进而得到答案．
【详解】解：∵
，k=-1＜0，b=-7＜0，
∴该函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故选：A．
变式4-1．（山东济南市·中考真题）若m
﹣2，则一次函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由m＜﹣2得出m+1＜0，1﹣m＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵m＜﹣2，
∴m+1＜0，1﹣m＞0，
所以一次函数
的图象经过一，二，四象限，
故选：D．
变式4-2．（山东日照市·中考真题）将函数y＝2x的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（ ）
A．y＝2x+3 B．y＝2x﹣3 C．y＝2（x+3） D．y＝2（x﹣3）
【答案】A
【分析】直接利用一次函数“上加下减”的平移规律即可得出答案．
【详解】解：∵将函数y＝2x的图象向上平移3个单位，
∴所得图象的函数表达式为：y＝2x+3．
故选：A．
变式4-3．（辽宁沈阳市·中考真题）一次函数
的图象经过点
，点
，那么该图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】如图（见解析），在平面直角坐标系中，先描出点A、B，再过点A、B作直线，然后观察函数图象即可得．
【详解】在平面直角坐标系中，先描出点A、B，再过点A、B作直线，如图所示：
观察函数图象可知，一次函数
的图象不经过第四象限
故选：D．
变式4-4．（湖南益阳市·中考真题）一次函数
的图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A．
B．
C．
随
的增大而减小 D．当
时，
【答案】B
【分析】根据一次函数的图象与性质判断即可．
【详解】由图象知，k﹥0，且y随x的增大而增大，故A、C选项错误；
图象与y轴负半轴的交点坐标为（0，-1），所以b=﹣1，B选项正确；
当x﹥2时，图象位于x轴的上方，则有y﹥0即
﹥0，D选项错误，
故选：B．
考查题型五 一次函数的性质
【解题思路】解题的关键是熟知一次函数的性质特点．
典例5（湖北省直辖县级行政单位·中考真题）对于一次函数
，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点
B．图象与x轴交于点
C．图象不经过第四象限 D．当
时，
【答案】D
【分析】根据一次函数的图像与性质即可求解．
【详解】A.图象经过点
，正确；
B.图象与x轴交于点
，正确
C.图象经过第一、二、三象限，故错误；
D.当
时，y＞4，故错误；
故选D．
变式5-1．（四川凉山彝族自治州·中考真题）已知一次函数y =（2m+1）x+m-3的图像不经过第二象限，则m的取值范围（ ）
A．m>-
B．m<3 C．-
<m<3 D．-
<m≤3
【答案】D
【分析】一次函数的图象不经过第二象限，即可能经过第一，三，四象限，或第一，三象限，所以要分两种情况.
【详解】当函数图象经过第一，三，四象限时，
，解得：－
＜m＜3.
当函数图象经过第一，三象限时，
，解得m＝3.
∴－
＜m≤3.
故选D.
变式5-2．（浙江九年级二模）设
，关于
的一次函数
，当
时的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用一次函数的性质可得当x=1时，y最大，然后可得答案．
【详解】∵一次函数
中
，
∴
随
的增大而减小，
∵
，
∴当
时，
，
故选：A．
变式5-3．（河南安阳市模拟）点A(x1，y1)、B(x2，y2)都在直线y＝kx+2（k＜0）上，且x1＜x2则y1、y2的大小关系是（ ）
A．y1 ＝y2 B．y1 ＜y2 C．y1 ＞y2 D．y1 ≥y2
【答案】C
【分析】根据直线系数k＜0，可知y随x的增大而减小，x1＜x2时，y1＞y2．
【详解】解：∵直线y＝kx+b中k＜0，
∴函数y随x的增大而减小，
∴当x1＜x2时，y1＞y2．
故选：C
．
考查题型六 求一次函数解析式
【解题思路】一次函数图像上点的坐标特点，以及利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握一次函数图像上的点满足函数解析式是解题的关键．
典例6（广西中考真题）直线y＝kx+2过点（﹣1，4），则k的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】A
【分析】由直线y＝kx+2过点（﹣1，4），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
【详解】解：∵直线y＝kx+2过点（﹣1，4），
∴4＝﹣k+2，
∴k＝﹣2．
故选：A．
变式6-1．（湖南邵阳市·中考真题）已知正比例函数
的图象过点
，把正比例函数
的图象平移，使它过点
，则平移后的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点
求出一次函数解析式，即可求解．
【详解】解：把点
代入
得
解得
，
∴正比例函数解析式为
，
设正比例函数平移后函数解析式为
，
把点
代入
得
，
∴
，
∴平移后函数解析式为
，
故函数图象大致
．
故选：D
变式6-2．（四川乐山市·中考真题）直线
在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据图像求出直线解析式，然后根据图像可得出解集．
【详解】解：根据图像得出直线
经过（0，1），（2，0）两点，
将这两点代入
得
，解得
，
∴直线解析式为：
，
将y=2代入得
，
解得x=-2，
∴不等式
的解集是
，
故选：C．
考查题型七 一次函数与一元一次方程
【解题思路】考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
典例7（山东济宁市·中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思思方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P ,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（ ）
A．x=20 B．x=5 C．x=25 D．x=15
【答案】A
【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
【详解】解：由图可知：
直线y=x+5和直线y=ax+b交于点P（20，25），
∴方程x+5=ax+b的解为x=20．
故选：A．
变式7-1．（陕西渭南市模拟一次函数
（
为常数且
）的图像经过点（－2，0），则关于
的方程
的解为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象的平移即可得到答案．
【详解】解：∵
是由
的图像向右平移5个单位得到的，
∴将一次函数
的图像上的点（－2，0）向右平移5个单位得到的点的坐标为（3，0）
∴当y=0时，方程
的解为x=3，
故选：C．
变式7-2．（湖北襄阳市模拟）如图，直线
过点A(0，5)，B(－4，0)，则关于x的方程
的解是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】方程kx+b=0的解其实就是当y=0时一次函数y=kx+b与x轴的交点横坐标．
【详解】解：由图知：直线y=kx+b与x轴交于点（-4，0），
即当x=-4时，y=kx+b=0；
因此关于x的方程kx+b=0的解为：x=-4．
故答案为：A.
变式7-3．（河北九年级其他模拟）如图，在直角坐标系中，一次函数
的图象
与正比例函数的图象
交于点
，一次函数
的图象为
，且
，
，
能围成三角形，则在下列四个数中，
的值能取的是（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】把M（m，3）代入一次函数y=-2x+5得到M（1，3），求得l2的解析式为y=3x，根据l1，l2，l3能围成三角形，l1与l3，l3与l2有交点且一次函数y=kx+2的图象不经过M（1，3），于是得到结论．
【详解】解：把M（m，3）代入一次函数y=-2x+5得，可得m=1，
∴M（1，3），
设l2的解析式为y=ax，
则3=a，
解得a=3，
∴l2的解析式为y=3x，
∵l1，l2，l3能围成三角形，
∴l1与l3，l3与l2有交点且一次函数y=kx+2的图象不经过M（1，3），
∴k≠3，k≠-2，k≠1，
∴k的值能取的是2，
故选C．
考查题型八 一次函数与一元一次不等式
典例8（湖南湘潭市·中考真题）如图，直线
经过点
，当
时，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将
代入
，可得
,再将
变形整理，得
，求解即可．
【详解】解：由题意将
代入
，可得
，即
，
整理
得，
，
∴
，
由图像可知
，
∴
，
∴
，
故选：A．
变式8-1．（陕西模拟）如图，函数 y1＝﹣2x 与 y2＝ax+3 的图象相交于点 A（m，2），则关于 x 的不等式﹣2x＞ax+3 的解集是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
【答案】D
【解析】因为函数
与
的图象相交于点A(m,2),把点A代入
可求出
,所以点A(－1,2),然后把点A代入
解得
, 不等式
,
可化为
,解不等式可得:
,故选D.
变式8-2．（山西模拟）如图，函数
和
的图象相交于A(m，3),则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），
∴3=2m，解得m=
．
∴点A的坐标是（
，3）．
∵当
时，y=2x的图象在y=ax+4的图象的下方，
∴不等式2x＜ax+4的解集为
．
故选C．
考查题型九 一次函数与二元一次方程（组）
典例9（陕西中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】
根据方程或方程组得到A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
解
得，
，
∴A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，
∴△AOB的面积＝
3×2＝3，
故选：B．
变式9-1．（河北承德市·九年级二模）如图，点
，
，
在一次函数
的图象上，它们的横坐标依次为
，1，2，分别过这些点作
轴与
轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（ ）
A．1 B．3 C．
D．
【答案】B
【分析】
由题意可以求得阴影部分的边长，再根据阴影部分的图形特征可以求得其面积．
【详解】
解：由题意可得A、C的坐标分别为（-1，b+2)、（2，b-4），
又阴影部分为三个有一直角边都是1，另一直角边的长度和为A点纵坐标与C点纵坐标之差的三角形，所以阴影部分的面积为：
，
故选B．
【点睛】
本题考查三角形面积与一次函数的综合应用，利用一次函数的表达式求得阴影部分三角形的边长和是解题关键 ．
变式9-2．（西安市铁一中学九年级其他模拟）若直线y＝3x+m和y＝nx﹣4相交于点P（﹣3，﹣2），则方程组
的解为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先求得直线
和直线
关于原点对称的直线，由题意得出点P的对应点，再根据方程组的解和直线交点的关系即可得．
【详解】
直线
和
关于原点对称的直线分别为
和
，点
关于原点对称的点坐标为
，
∵直线
和
相交于点
，
∴直线
和
相交于点
，
则方程组
的解为
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数的交点与二元一次方程组解的关系、关于原点对称的点坐标，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
变式9-3．（陕西西安市·高新一中九年级其他模拟）若直线l1经过点（﹣1，0），l2经过点（2，2），且l1与l2关于直线x＝1对称，则l1和l2的交点坐标为（ ）
A．（1，4） B．（1，2） C．（1，0） D．（1，3）
【答案】A
【分析】
根据对称的性质得出两个点关于直线x＝1对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求出交点坐标即可．
【详解】
解：∵直线l1经过点（﹣1，0），l2经过点（2，2），关于直线x＝1对称，
∴点（﹣1，0）关于直线x＝1对称点为（3，0），
点（2，2）关于直线x＝1对称点为（0，2），
∴直线l1经过点（﹣1，0），（0，2），l2经过点（2，2），（3，0），
∴直线l1的解析式为：y＝2x+2，直线l2的解析式为：y＝﹣2x+6，
解方程组
得，
∴l1和l2的交点坐标为（1，4），
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出l1与l2的交点坐标为l1与l2与y轴的交点是解题关键．
考查题型十 一次函数的实际应用
典例10（四川广安市·中考真题）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变）
（1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
【答案】（1）A种树苗每棵的价格为40元，B种树苗每棵的价格为10元；（2）W= 30t＋420，当购买A种树苗14棵，B种树苗28棵时，总费用最少，最少为840元
【分析】
（1）设A种树苗每棵的价格为x元，B种树苗每棵的价格为y元，根据题意，列出二元一次方程组即可求出结论；
（2）根据题意，即可求出W与t的函数关系式，然后根据题意，求出t的取值范围，利用一次函数的增减性即可求出结论．
【详解】
解：（1）设A种树苗每棵的价格为x元，B种树苗每棵的价格为y元，
由题意可得：
解得：
答：A种树苗每棵的价格为40元，B种树苗每棵的价格为10元．
（2）由题意可得：W=40t＋10（42－t）=30t＋420
解得：14≤t＜42
∵W= 30t＋420中，30＞0
∴W随t的增大而增大
∴当t=14时，W最小，最小值为30×14＋420=840
此时B种树苗42－14=28棵
答：当购买A种树苗14棵，B种树苗28棵时，总费用最少，最少为840元．
【点睛】
此题考查的是二元一次方程组的应用和一次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用一次函数的增减性求最值是解题关键．
变式10-1．（山东济南市·中考真题）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格
进价（元/部）
售价（元/部）
A
3000
3400
B
3500
4000
某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．
（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？
（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；（2）营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元
【分析】
（1）根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进A、B两种型号手机各多少部；
（2）根据题意，可以得到利润与A种型号手机数量的函数关系式，然后根据B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，可以求得A种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少．
【详解】
解：（1）设营业厅购进A、B两种型号手机分别为a部、b部，
，
解得，
，
答：营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；
（2）设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机(30﹣x)部，获得的利润为w元，
w＝(3400﹣3000)x+(4000﹣3500)(30﹣x)＝﹣100x+15000，
∵B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，
∴30﹣x≤2x，
解得，x≥10，
∵w＝﹣100x+15000，k＝﹣100，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时w＝14000，30﹣x＝20，
答：营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元．
变式10-2．（浙江宁波市·中考真题）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）
（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．
（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？
【答案】（1）y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；（2）货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时
【分析】
（1）先设出函数关系式y＝kx+b（k≠0），观察图象，经过两点（1.6，0），（2.6，80），代入求解即可得到函数关系式；
（2）先求出货车甲正常到达B地的时间，再求出货车乙出发回B地时距离货车甲比正常到达B地晚1个小时的时间以及故障地点距B地的距离，然后设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，最后列出不等式并求解即可．
【详解】
解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx+b，得
，
解得：
，
∴y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；
（2）根据图象可知：货车甲的速度是80÷1.6＝50（km/h）
∴货车甲正常到达B地的时间为200÷50＝4（小时），
18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），
当y＝200﹣80＝120 时，
120＝80x﹣128，
解得x＝3.1，
5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），
设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，
∴1.6v≥120，
解得v≥75．
答：货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时．
变式10-3．（江苏南通市·中考真题）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
【答案】（1）y＝﹣2x+6；（2）M（3，6）或（﹣1，2）．
【分析】
（1）把点C的坐标代入y＝x＋3，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．
【详解】
解：（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
把x＝1代入y＝x+3得y＝4，
∴C（1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴
，解得
，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），
MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，
解得a＝3或a＝﹣1，
∴M（3，6）或（﹣1，2）．
【点睛】
本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键．
