专题11 一次函数
（满分：100分 时间：90分钟）
班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________
一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)
1．（内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）鄂尔多斯动物园内的一段线路如图1所示，动物园内有免费的班车，从入口处出发，沿该线路开往大象馆，途中停靠花鸟馆（上下车时间忽略不计），第一班车上午9：20发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车，且每一班车速度均相同．小聪周末到动物园游玩，上午9点到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从入口处出发，沿该线路步行25分钟后到达花鸟馆，离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示，下列结论错误的是（ ）
A．第一班车离入口处的距离y（米）与时间x（分）的解析式为y＝200x﹣4000（20≤x≤38）
B．第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间为10分钟
C．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，想坐班车到大象馆，则小聪最早能够坐上第四班车
D．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，如果坐第五班车到大象馆，那么比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了7分钟（假设小聪步行速度不变）
【答案】C
【分析】
设y＝kx+b，运用待定系数法求解即可得出第一班车离入口处的距离y（米）与时间x（分）的解析式；把y＝2500代入函数解析式即可求出第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间；设小聪坐上了第n班车，30﹣25+10（n﹣1）≥40，解得n≥4.5，可得小聪坐上了第5班车，再根据“路程、速度与时间的关系”解答即可．
【详解】
解：由题意得，可设第一班车离入口处的距离y（米）与时间x（分）的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
把（20，0），（38，3600）代入y＝kx+b，
得
，解得：
；
∴第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达为y＝200x﹣4000（20≤x≤38）；
故选项A不合题意；
把y＝2000代入y＝200x﹣4000，
解得：x＝30，
30﹣20＝10（分），
∴第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟；
故选项B不合题意；
设小聪坐上了第n班车，则
30﹣25+10（n﹣1）≥40，解得n≥4.5，
∴小聪坐上了第5班车，
故选项C符合题意；
等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：1600÷200＝8（分），
步行所需时间：1600÷（2000÷25）＝20（分），
20﹣（8+5）＝7（分），
∴比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了7分钟．
故选项D不合题意．
故选：C．
2．（湖北咸宁市·中考真题）在平面直角坐标系
中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据“好点”的定义判断出“好点”即是直线y=x上的点，再各函数中令y=x，对应方程无解即不存在“好点”.
【详解】
解：根据“好点”的定义，好点即为直线y=x上的点，令各函数中y=x，
A、x=-x，解得：x=0，即“好点”为（0，0），故选项不符合；
B、
，无解，即该函数图像中不存在“好点”，故选项符合；
C、
，解得：
，经检验
是原方程的解，即“好点”为（
，
）和（-
，-
），故选项不符合；
D、
，解得：x=0或3，即“好点”为（0，0）和（3，3），故选项不符合；
故选B.
【点睛】
本题考查了函数图像上的点的坐标，涉及到解分式方程，一元二次方程，以及一元一次方程，解题的关键是理解“好点”的定义.
3．（四川中考真题）已知函数
，当函数值为3时，自变量x的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣
C．﹣2或﹣
D．﹣2或﹣
【答案】A
【分析】
根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论．
【详解】
解：若x＜2，当y=3时，﹣x+1=3，
解得：x=﹣2；
若x≥2，当y=3时，﹣
=3，
解得：x=﹣
，不合题意舍去；
∴x=﹣2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质、一次函数的图象上点的坐标特征；根据分段函数进行分段求解是解题的关键．
4．（湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）已知正比例函数
的图象与反比例函数
的图象相交于点
，下列说法正确的是（ ）
A．正比例函数
的解析式是
B．两个函数图象的另一交点坐标为
C．正比例函数
与反比例函数
都随x的增大而增大
D．当
或
时，
【答案】D
【分析】
根据两个函数图像的交点，可以分别求得两个函数的解析式
和
，可判断A错误；两个函数的两个交点关于原点对称，可判断B错误，再根据正比例函数与反比例函数图像的性质，可判断C错误，D正确，即可选出答案．
【详解】
解：根据正比例函数
的图象与反比例函数
的图象相交于点
，即可设
，
，
将
分别代入，求得
，
，
即正比例函数
，反比例函数
，故A错误；
另一个交点与
关于原点对称，即
，故B错误；
正比例函数
随x的增大而减小，而反比例函数
在第二、四象限的每一个象限内y均随x的增大而增大，故C错误；
根据图像性质，当
或
时，反比例函数
均在正比例函数
的下方，故D正确．
故选D．
【点睛】
本题目考查正比例函数与反比例函数，是中考的重要考点，熟练掌握两种函数的性质是顺利解题的关键．
5．（湖北荆州市·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
观察一次函数解析式，确定出k与b的符号，利用一次函数图象及性质判断即可.
【详解】
∵一次函数y=x+1，其中k=1，b=1
∴图象过一、二、三象限
故选：D.
【点睛】
此题主要考查一次函数图象的性质，熟练掌握，即可解题.
6．（江苏泰州市·中考真题）点
在函数
的图像上，则代数式
的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
把
代入函数解析式得
，化简得
，化简所求代数式即可得到结果；
【详解】
把
代入函数解析式
得：
，
化简得到：
，
∴
．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子是解题的关键．
7．（贵州遵义市·中考真题）新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况，即直线的斜率的变化．问题便可解答．
【详解】
对于乌龟，其运动过程可分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，其路程不断增加；最后同时到达终点，可排除B，D选项
对于兔子，其运动过程可分为三段：据此可排除A选项
开始跑得快，所以路程增加快；中间睡觉时路程不变；醒来时追赶乌龟路程增加快．
故选：C
【点睛】
本题考查了函数图象的性质进行简单的合情推理，对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
8．（浙江嘉兴市·中考真题）一次函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据一次函数的图象与系数的关系选出正确选项．
【详解】
解：根据函数解析式
，
∵
，∴直线斜向下，
∵
，∴直线经过y轴负半轴，
图象经过二、三、四象限．
故选：D．
【点睛】
本题考查一次函数的图象，解题的关键是能够根据解析式系数的正负判断图象的形状．
9．（四川内江市·中考真题）将直线
向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
向上平移时，k的值不变，只有b发生变化．
【详解】
解：原直线的k=-2，b=-1；向上平移两个单位得到了新直线，
那么新直线的k=-2，b=-1+2=1．
∴新直线的解析式为y=-2x+1．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图象的变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值发生变化．
10．（北京中考真题）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系
【答案】B
【分析】
设水面高度为
注水时间为
分钟，根据题意写出
与
的函数关系式，从而可得答案．
【详解】
解：设水面高度为
注水时间为
分钟，
则由题意得：
所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系，
故选B．
【点睛】
本题考查的是列函数关系式，判断两个变量之间的函数关系，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)
11．（重庆中考真题）A，B两地相距240 km，甲货车从A地以40km/h的速度匀速前往B地，到达B地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的路程y（km）与甲货车出发时间x（h）之间的函数关系如图中的折线
所示．其中点C的坐标是
，点D的坐标是
，则点E的坐标是__________．
【答案】
【分析】
先根据CD段的求出乙货车的行驶速度，再根据两车的行驶速度分析出点E表示的意义，由此即可得出答案．
【详解】
设乙货车的行驶速度为
由题意可知，图中的点D表示的是甲、乙货车相遇
点C的坐标是
，点D的坐标是
此时甲、乙货车行驶的时间为
，甲货车行驶的距离为
，乙货车行驶的距离为
乙货车从B地前往A地所需时间为
由此可知，图中点E表示的是乙货车行驶至A地，EF段表示的是乙货车停止后，甲货车继续行驶至B地
则点E的横坐标为4，纵坐标为在乙货车停止时，甲货车行驶的距离，即
即点E的坐标为
故答案为：
．
12．（山东东营市·中考真题）已知一次函数y=kx+b的图象经过A（1，﹣1），B（﹣1，3）两点，则k 0（填“＞”或“＜”）
【答案】＜.
【分析】
根据A（1，-1），B（-1，3），利用横坐标和纵坐标的增减性判断出k的符号．
【详解】
∵A点横坐标为1，B点横坐标为-1，
根据-1＜1，3＞-1，
可知，随着横坐标的增大，纵坐标减小了，
∴k＜0．
故答案为＜．
13．（贵州黔西南布依族苗族自治州·）如图，正比例函数的图象与一次函数y＝－x＋1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是________．
【答案】y＝－2x
【分析】
首先将点P的纵坐标代入一次函数的解析式求得其横坐标，然后代入正比例函数的解析式即可求解．
【详解】
∵点P到x轴的距离为2，
∴点P的纵坐标为2，
∵点P在一次函数y＝－x＋1上，
∴2＝－x＋1，解得x＝－1，
∴点P的坐标为（－1，2）．
设正比例函数解析式为y＝kx，
把P（－1，2）代入得2＝－k，解得k＝－2，
∴正比例函数解析式为y＝－2x，
故答案为：y＝－2x．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式，及两函数交点问题的处理能力，熟练的进行点与线之间的转化计算是解题的关键．
14．（贵州遵义市·中考真题）如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠0）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为_____．
【答案】x＜4
【分析】
结合函数图象，写出直线
在直线y＝2下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
解：∵直线y＝kx+b与直线y＝2交于点A（4，2），
∴x＜4时，y＜2，
∴关于x的不等式kx+b＜2的解集为：x＜4．
故答案为：x＜4．
【点睛】
本题考查的是利用函数图像解不等式，理解函数图像上的点的纵坐标的大小对图像的影响是解题的关键．
15．（上海中考真题）如果函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而_____．（填“增大”或“减小”）
【答案】减小
【分析】
根据正比例函数的性质进行解答即可．
【详解】
解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，
故答案为：减小．
【点睛】
此题考查的是判断正比例函数的增减性，掌握正比例函数的性质是解决此题的关键．
三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)
16．（辽宁锦州市·中考真题）某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
每千克售价x（元）
…
25
30
35
…
日销售量y（千克）
…
110
100
90
…
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？
（3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）30元 （3）40元；1600元
【分析】
（1）任选表中的两组对应数值，用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）销售利润=销售量
每千克所获得的利润，得
，解出方程；
（3）构造
，利用二次函数的最大值问题解决．
【详解】
解：（1）设一次函数表达式为
，
将
代入，得
解得
．
（2）根据题意，得
，
整理，得
，
解得
（不合题意，舍去）．
答：该超市要想获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为30元．
（3）方法1：
设日销售利润为w元．
．
，
抛物线开口向下，
又
，
当
时，w随x的增大而增大．
当
时，w有最大值，
（元）．
答：当每千克樱桃的售价定为40元时，可获得最大利润，最大利润是1600元．
方法2：
设日销售利润为w元．
，
，
抛物线开口向下，对称轴为直线
．
当
时，w随着x的增大而增大，
当
时，w有最大值，
（元）．
答：当每千克樱桃的售价定为40元时，可获得最大利润，最大利润是1600元．
【点睛】
本题考查一次函数、一元二次方程、二次函数的综合运用，是应用题中的典型，也是中考必考题型．
17．（山东潍坊市·中考真题）因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利涧=销售价-进价）
【答案】（1）函数的表达式为：y=-2x+220；（2）80元，1800元．
【分析】
（1）设y与x之间的函数表达式为y=kx+b， ，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）由题意得w=（x-50）（-2x+220）=-2（x-80）2+1800，即可求解．
【详解】
（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b，
将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：
，
解得：
，
故函数的表达式为：y=-2x+220；
（2）设药店每天获得的利润为W元，由题意得：
w=（x-50）（-2x+220）=-2（x-80）2+1800，
∵-2＜0，函数有最大值，
∴当x=80时，w有最大值，此时最大值是1800，
故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w得出函数关系式是解题关键．
18．（北京中考真题）在平面直角坐标系
中，一次函数
的图象由函数
的图象平移得到，且经过点(1，2)．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当
时，对于
的每一个值，函数
的值大于一次函数
的值，直接写出
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
【分析】
（1）根据一次函数
由
平移得到可得出k值，然后将点（1，2）代入
可得b值即可求出解析式；
（2）由题意可得临界值为当
时，两条直线都过点（1，2），即可得出当
时，
都大于
，根据
，可得
可取值2，可得出m的取值范围．
【详解】
（1）∵一次函数
由
平移得到，
∴
，
将点（1，2）代入
可得
，
∴一次函数的解析式为
；
（2）当
时，函数
的函数值都大于
，即图象在
上方，由下图可知：
临界值为当
时，两条直线都过点（1，2），
∴当
时，
都大于
，
又∵
，
∴
可取值2，即
，
∴
的取值范围为
．
【点睛】
本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键．
19．（四川攀枝花市·中考真题）如图，过直线
上一点
作
轴于点
，线段
交函数
的图像于点
，点
为线段
的中点，点
关于直线
的对称点
的坐标为
．
（1）求
、
的值；
（2）求直线
与函数
图像的交点坐标；
（3）直接写出不等式
的解集．
【答案】（1）3，
；（2）（2，
）；（3）0＜x＜
【分析】
（1）根据点C′在反比例函数图像上求出m值，利用对称性求出点C的坐标，从而得出点P坐标，代入一次函数表达式求出k值；
（2）将两个函数表达式联立，得到一元二次方程，求解即可；
（3）根据（2）中交点坐标，结合图像得出结果.
【详解】
解：（1）∵C′的坐标为(1，3)，
代入
中，
得：m=1×3=3，
∵C和C′关于直线y=x对称，
∴点C的坐标为（3，1），
∵点C为PD中点，
∴点P（3，2），
将点P代入
，
∴解得：k=
；
∴k和m的值分别为：3，
；
（2）联立：
，得：
，
解得：
，
（舍），
∴直线
与函数
图像的交点坐标为（2，
）；
（3）∵两个函数的交点为：（2，
），
由图像可知：当0＜x＜
时，反比例函数图像在一次函数图像上面，
∴不等式
的解集为：0＜x＜
.
20．（吉林长春市·中考真题）已知
、
两地之间有一条长240千米的公路．甲车从
地出发匀速开往
地，甲车出发两小时后，乙车从
地出发匀速开往
地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和
（千米）与甲车行驶的时间
（时）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车的速度为_________千米/时，
的值为____________．
（2）求乙车出发后，
与
之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．
【答案】（1）40，480；（2）
；（3）
小时或
小时
【分析】
（1）根据图象可知甲车行驶2行驶所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得a=240×2=480；
（2）根据题意直接运用待定系数法进行分析解得即可；
（3）由题意分两车相遇前与相遇后两种情况分别列方程解答即可．
【详解】
解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2=40（千米/时）；
a=40×6×2=480，
故答案为：40；480；
（2）设
与
之间的函数关系式为
，
由图可知，函数图象过点
，
，
所以
解得
所以
与
之间的函数关系式为
；
（3）两车相遇前：
解得：
两车相遇后：
解得：
答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是
小时或
小时．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
